Рівняння математичної фізики: Навчальний посібник, страница 8

(6.2)

Тоді для відшукання функції W(x,t) вимагається вирішити задачу

(6.3)

Остання задача вже достатньо знайома і розв'язується методом Фур’є. Залишилося вирішити задачу (6.2). Після інтегрування рівняння вийде

Постійні С₁ і С₂ знаходяться з крайових умов.

Приклад 1. Вирішити рівняння

за нульових початкових і крайових умов Рішення розшукується у вигляді суми Потім слід цю суму підставити в рівняння

і підібрати функцію так, щоб і Рівняння інтегрується двічі:

З крайових умов визначаються

Значит,

Функція W(x,t)- є рішення наступної задачі:

Подібні задачі розглядалися в розд. 3, тому можна відразу записати рішення:

де

Залишається обчислити

Відповідь:

Задачі для самостійного розв’язування

1. Застосуйте правило 4 до рішення задачі 5 розд. 4.

2.Сформулюйте правило 4 для випадку гармонійних зовнішніх сил (задачі 1, 2 і 4 розд. 4).

7. ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ ФУРЬЕ ДЛЯ ДВУМЕНРНОЙ ЗАДАЧІ ПРО КОЛИВАННЯ МЕМБРАНИ

Метод Фур’є з успіхом застосовується при дослідженні коливань прямокутної мембрани.

Приклад. Однорідна квадратна мембрана, що має в початковий момент часу t = 0 форму , де А – постійна, почала коливатися без початкової швидкості. Дослідити вільні коливання мембрани, закріпленої по контуру х = 0, х = l, у = 0, у = l.

Рівняння вільних коливань мембрани має вигляд

(7.1)

Тут u = u (x, у, t) – відхилення точок мембрани від площини ХОY у момент t. Умова закріплення мембрани по краях запишеться таким чином:

u|_x=0 = u|_x=_l= u| _y=0 = u |_y₌_l(7.2)

Початкові умови

U|_t=0 = Aху(l – x) (l – у); (7.3)

Шукаємо рішення даної задачі у вигляді

u(x, у, t)= T(t) X(x) У(у).

Підставимо функцію u(x, у, t ) в рівняння і розділимо змінні

Хай

Для задачі

х"+l²х = 0, х(0)= 0, х(l) = 0,

отримаємо власні значення

, (7.4)

власні функції

, k=1,2,... (7.5)

Для задачі

y" + m²y = 0, y(0) = 0, y(l) = 0

отримаємо

Переходимо до відшукання функції Т(t): рівняння

Т + а²(l ²+m²)Т=0

маємо рішення

З умови виходить, що Т'(0)=0. Обчислюємо

Підставляючи t = 0, отримаємо А_kn=0. Отже

Тоді

Застосовуючи умову u|_t=0= Axy(l–x)∙(l–y), отримаємо

Справа отримали подвійний ряд Фур’е. Значить, коефіцієнти ряду Фур’е для заданого початкового відхилення дорівнюють

Переходячи від подвійного інтеграла до повторного, отримаємо

Відповідь:

Задачі для самостійного розв’язування

1. Знайти закон вільних коливань квадратної мембрани із стороною l, якщо в початковий момент мембрані додана швидкість (де а - постійна, що фігурує в рівнянні мембрани). Початкове відхилення дорівнює нулю. Мембрана закріплена в точках свого контуру.

Відповідь:

2. Знайти закон вільних коливань квадратної мембрани із стороною l, якщо в початковий момент відхилення в кожній точці визначалося рівністю

Початкова швидкість дорівнює нулю. Уздовж контуру мембрана закріплена.

Відповідь: .

8. МЕТОД ФУР’Є ДЛЯ ОДНОРІДНОГО РІВНЯННЯ ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ

1. Початкові і граничні умови. Розподіл температури в стрижні описується наступним рівнянням (рівняння теплопровідності)

(8.1)

де f(x,t) – потужність внутрішніх джерел в стрижні, розрахована на одиницю маси, c – коефіцієнт питомої теплоємності.

В початковий момент часу t = 0 розподіл температури вважається відомим

u(x,0)= j(x) (8.2)

При стрижні кінцевих розмірів задаються умови на його кінцях (граничні умови). Можливі наступні типи граничних умов:

a) на кінцях підтримується задана температура (заданий тепловий режим):

u(0,t)= g₁(t), u(l,t) = g₂(t)

б) на кінцях стрижня задана величина теплового потоку q

q|_x=0= f₁(t), q|_x=_l = f₂(t).

(Усюди нижче величина q позначає потік, направлений з тіла в зовнішнє середовище). Оскільки потік пропорційний і на кінцях направлений в різні боки, то

(8.3)

Тому граничні умови мають вигляд

u_x(0,t)= q₁(t), u_x(l,t) = q₂(t)

де q₁(t)=k^-1f₁(t), q₂(t)=k^-1f₂(t)

в) на кінцях відбувається теплообмін з середовищем. Хай q(t) – температура зовнішнього середовища. Припускаємо, що теплообмін відбувається за законом Ньютона.

Закон Ньютона. Величина теплового потоку через межу тіла пропорційна різниці температур тіла і зовнішнього середовища:

q| _{через межу} = l [u (s,t) - q (t)]

де u(s,t) – температура тіла на межі, а q (t) – температура середовища.

Зокрема, для стрижня

q|_x=0= l [u (0,t) - q (t)], q|_x=_l= l [u (l,t) - q (t)]

або згідно (8.3)

u_x(0,t) – hu(0,t)=q₁(t)

u_x(l,t) - hu (l,t) = q₂(t)

де .

г) кінці стрижня теплоізольовані. Це означає, що на кінцях відсутній тепловий потік. Тому крайові умови матимуть вигляд

u_x(0,t)=0, u_x(l,t)=0.

2. Метод Фур’є для однорідної задачі. Розглянемо розповсюдження тепла в стрижні кінцевої довжини, коли на його кінцях підтримується нульова температура. Джерела тепла в стрижні відсутні, початкова температура в кожній точці стрижня задана. Температура u(x,t) стрижня є рішення задачі.

(8.4)