Рівняння математичної фізики: Навчальний посібник, страница 5

Відповідь:

6. Знайти закон коливання струни завдовжки l, розташованої на відрізку [0,], якщо в початковий момент їй надали форму кривої а потім відпустили без початкової швидкості. Струна закріплена на кінцях. Зовнішні сили відсутні.

Відповідь:

7. Знайти закон коливання струни завдовжки l, якщо в початковий момент всі точки струни повідомлена швидкість, рівна (де а – постійна, фігуруюча в рівнянні струни). Початкове відхилення відсутнє. Кінці струни закріплені. Зовнішні сили відсутні

Відповідь:

8. Однорідна струна завдовжки l, закріплена на обох кінцях, знаходиться в прямолінійному положенні рівноваги. В деякий момент часу, що приймається за початковий, вона одержує в точці х = с удар від молоточка, який повідомляє цій точці постійну швидкість ₀. Знайти відхилення струні для будь-якого моменту часу.

Розглянути два випадки.

а) Струна збуджується початковою швидкістю

Цей випадок відповідає плоскому жорсткому молоточку, що має ширину і ударяє в точці х = с.

б) Струна збуджується початковою швидкістю

Цей випадок відповідає жорсткому опуклому молоточку вширшки . Такий молоточок в центрі інтервалу порушує найбільшу швидкість.

Відповідь:

а)

б)

9. Вирішити першу змішану задачу для однорідного хвильового рівняння на відрізку

а). u_tt = x_xx, x Î (0,2), t Î (0,¥)

u(x,0) = 0, u_t(x,0) = x(2 – x), u(0,t) = u(2,t) = 0

б). u_tt = 2u_xx, x Î (0,1), t Î (0,¥)

u(x,0) = 0, u_t(x,0) = x(1 – x), u(0,t) = u(1,t) = 0

в). u_tt = 3u_xx, x Î (0,3), t Î (0,¥),

u(x,0) = 0, u_t(x,0) = x(3 – x), u(0,t) = u(3,t) = 0,

г). u_tt = 4u_xx, x Î (0,2), t Î (0,¥)

u(x,0) = 0, u_t(x,0) = x(2 – x), u(0,t) = u(2,t) = 0,

д). u_tt = u_xx, x Î (0,2), t Î (0,¥)

u(x,0) = 0, u_t(x,0) = x(1 – x), u(0,t) = u(1,t) = 0,

е). , x Î (0,4), t Î (0,¥)

u(x,0) = 0, u_t(x,0) = x(4 – x), u(0,t) = u(4,t) = 0,

ж). , x Î (0,3), t Î (0,¥)

u(x,0) = 0, u_t(x,0) = x(3 – x), u(0,t) = u(3,t) = 0,

з). u_tt =9 u_xx, x Î (0,2), t Î (0,¥)

u(x,0) = 0, u_t(x,0) = x(2 – x), u(0,t) = u(2,t) = 0,

и). u_tt = 16u_xx, x Î (0,2), t Î (0,¥)

u(x,0) = 0, u_t(x,0) = x(2 – x), u(0,t) = u(2,t) = 0,

к). u_tt = u_xx, x Î (0,3), t Î (0,¥)

u(x,0) = 0, u_t(x,0) = x(3 – x), u(0,t) = u(3,t) = 0,

Відповідь:

а). .

б).

в).

г).

д).

е).

ж).

з).

и).

к).

4. РІШЕННЯ НЕОДНОРІДНИХ ЗАДАЧ ДЛЯ РІВНЯННЯ коливань

Метод відокремлення змінних дозволяє також знайти рішення неоднорідного рівняння коливань. Малі поперечні коливання пружної струни описуються рівнянням

(4.1)

Функція визначає відхилення u точки струни у момент часу t. Графік функції при кожному фіксованому значенні t представляє форму струни, що коливається, у цей момент часу. Функція густина зовнішніх сил, розрахованих на одиницю маси струни, позитивна постійна (Т – натягнення струни r - густина її). В початковий момент часу t=0 передбачаються відомими положення струни і її швидкість:

(4.2)

Якщо струна має кінцеві розміри , то потрібна додаткова інформація про поведінку рішення на кінцях , .

Можливі наступні типи крайових умов:

а) струна закріплена на кінцях:

(4.3)

б) струна не закріплена на кінцях і відомий закон руху кінців:

(4.4)

У такому разі прийнято говорити, що заданий режим на кінцях;

в) кінці струни не закріплені і відомі сили G₁(t), G₂(t), діючі на кінцях. Тоді за законом Гука

(4.5)

г) кінці струни закріплені пружно:

(4.6)

де h₁, h₂ – постоянные

д) кінці струни вільні (під цим розуміється їх вільне поперечне переміщення):

(4.7)

Необхідно помітити, що умови (4.7) є окремим випадком умов (4.6), виходячи з них при . Умови (4.7) можна пояснити геометрично: для вільного кінця, наприклад дотична до графіка функція паралель осі x у будь-який момент часу t, тобто Якщо зовнішні сили відсутні, то в правій частині рівняння (4.1) функція і замість неоднорідного рівняння виходить однорідне (замість вимушених коливань – вільні).

Крайові умови типу (4.3) і (4.7) називають однорідними, а умови типу (4.4), (4.5) і (4.6) – неоднорідними. Початкові умови (4.2) також в окремому випадку називаються однорідними. Очевидно, всяка неоднорідність ускладнює рішення задачі. Проте, будь-яка неоднорідна задача може бути вирішена у декілька етапів.

Для розгляду виберемо задачу про вимушені коливання струни із заданим режимом на кінцях:

(4.8)

Перший етап. Перш за все слід позбутися неоднорідності в крайових умовах. Для цього необхідно підібрати допоміжну функцію р(x,t), що задовольняє заданим крайовим умовам. Звичайно р(x,t) беруть у вигляді лінійної по x функції:

(4.9)

Можна скористатися рівнянням прямої, що проходить через точки і . Для функції (4.9) граничні умови, очевидно, виконуються. Тепер вводиться нова невідома функція інакше проводиться заміна . Перерахунок других похідних дає: