Рівняння математичної фізики: Навчальний посібник, страница 4

Оскільки розшукуються рішення, що задовольняють крайовим умовам (3.3), то при будь-якому значенні t повинна дотримуватися рівність:

  

Оскільки розшукуються нетривіальні рішення, то  значить, необхідно покласти    і  .

В результаті для відшукання функції  необхідно вирішити наступну задачу: знайти рішення лінійного диференціального рівняння 2-го порядку

                                   (3.7)

з крайовими умовами

                              (3.8)

Виявляється, при деяких значеннях постійної l задача (3.7)-(3.8) має нетривіальні рішення. Загальне рішення рівняння (3.7) має вигляд

де С₁ і С₂ – довільні постійні, які можна визначити використовуючи крайові умови.

При х = 0 повинно бути

а при х =

.

Оскільки варіант  С₂=0 дає (з урахуванням  С₁=0) тривіальне рішення, залишається

,

тобто                         

Значить, якщо , то існують нетривіальні рішення задачі (3.7)-(3.8) вигляду

Знайдені значення  l називаються власними значеннями для даної крайової задачі, а функції X_k(x) – власними функціями.

Помітимо, що знайдені власні функція ортогональні на інтервалі . Тепер слід відшукати функцію T(t). Функція T_k(t) відповідна власному значенню l_{k ,} задовольняє рівнянню

загальне рішення якого має вигляд:

Підставляючи знайдені функції X_k(t) і Т_k(t) формулу (3.4), можна отримати рішення рівняння (3.1), що задовольняють крайовим умовам (3.2):

                 (3.9)

Тут введені позначення         

Рішення  (3.9) називаються власними функціями задачі (3.1)-(3.3), відповідні їм коливання струни – власними  коливаннями.

Тепер доцільно перейти і заключній частині методу Фур’є: за допомогою власних функцій побудуємо рішення, що задовольняє початковим умовам (3.2). Для цього візьмемо суму рішень (3.9), яка через лінійність і однорідність рівняння (3.1) також буде його рішенням:

              (3.10)

Якщо цей ряд, а також що виходять з нього двократним диференціюванням по x і по t, сходяться рівномірно на ,  то функція (3.10) задовольняє рівнянню (3.1) і крайовим умовам (3.3).

Залишилося підібрати довільні постійні a_k і b_k так, щоб задовольнити початковим умовам (3.2). При t=0 із співвідношення (3.10) легко отримати

.                           (3.11)

Для задоволення другої початкової умови необхідно продиференціювати ряд (3.10) по t:

і підставити t=0:

.                    (3.12)

Формули (3.11) і (3.12) означає, що числа a_k і  є коефіцієнтами розкладання функцій   і   в ряд Фур’є по синусах в інтервалі , тобто

                          (3.13)

Таким чином, при реалізації методу Фур’є для задачі (3.1)-(3.3) треба розкласти початкові дані  і  в ряд Фур’є по синусах на .

Підставляючи вирази для коефіцієнтів а_k і b_k в ряд  (3.10), остаточно знайдемо рішення поставленої задачі.

Зауваження: важливо звернути увагу на умови, що накладаються на функції  і , щоб забезпечити законність двократного почленного диференціювання ряду (3.10) по x і no t.

 Приклад 1. Знайти коливання струни із закріпленими кінцями х=0 і х=, якщо початкові швидкості точек рівні нулю, а початкове відхилення має форму трикутника з вершиною у точці (С,h) (рисунок 3.1).

В момент  струна займає положення, зображене на рис. 3.1. Опишемо положення струни аналітично.

Рисунок 3.1

Для  є   (рівняння прямої, що проходить через початок координат, кутовий коефіцієнт ). Для  складемо рівняння прямої, що проходить через точки    і :       звідки                          

Задача приводиться до інтеграції рівняння  за нульових крайових умов з початковими умовами

Щоб знайти      слід використовувати формули (3.13)

Інтеграли беруться по частинах

Отже,

оскільки початкова швидкість відсутня, коефіцієнти . Залишилося підставити знайдені значення a_k і b_k у формулу (3.10).

Відповідь:

Приклад 2. Однорідна струна завдовжки l натягнута між точками x=0 і x=l. Початкова форма струни задається функцією  початкова швидкість рівна нулю. Визначити відхилення .

 По формулах (3.13) слід знайти коефіцієнти a_k і b_k. Коефіцієнти, оскільки відсутня початкова швидкість Початкове положення струни співпадає з графіком однієї з власних функцій. Тому крім всіх коефіцієнтів b_k, звертаються в нуль і всі коефіцієнти  a_k при  k ¹ n, оскільки власні функції ортогональні.

Значить, з ряду (3.10) залишається один доданок

Рішення можна записати у вигляді

де  амплітуда коливання, залежна від абсциси точки струни. Всі точки струни скоюють гармонійні коливання з однією і тією ж частотою   При цьому всі точки струни одночасно досягають свого максимального відхилення і одночасно проходять положення рівноваги. Такі коливання струни називаються стоячими хвилями.

Задачі для самостійного розв’язування

1. Знайти коливання струни із закріпленими кінцями  і , якщо посередині струна зволікається від положення рівноваги і в момент  відпускається без початкової швидкості. Правильність рішення перевірити, вважаючи у відповіді  задачі 1:

Рисунок 3.2

2. Струна, закріплена на кінцях х=0 і х=l, має в початковий момент форму параболи  Визначити зсув точок струни від осі абсцис, якщо початкові швидкості    відсутні. (рис. 3.2).

Відповідь:   

Необхідно звернути увагу на той факт, що амплітуди послідовних гармонік тут убуває швидше, ніж в попередній задачі.

3. В початковому положенні струна знаходиться у спокої і точкам її на ділянці  додана постійна швидкість ₀ (цього можна добитися, ударяючи по струні на цій ділянці плоским жорстким молоточком). Знайти коливання струни. Досліджувати окремий випадок .

Вказівка. Функція  представляється у вигляді:

Відповідь:

при   

4. Початкове відхилення струни, закріпленої в точках  х = 0 і х = l, рівні нулю, а початкова швидкість виражається формулою

Визначити форму струни для будь-якого моменту часу.

5. На відрізку   для рівняння  знайти рішення за умов