Физика \ Методы математической физики

Рівняння математичної фізики: Навчальний посібник, страница 10

Ліва частина не залежить від x, а права – від t. Рівність можливо лише у тому випадку, коли ці частини постійні

Підставляючи X(x) і T(t) в w(t,x), отримаємо

Оскільки T(t) ≠ 0, бо було б w(x,t) º 0, то знаходячи похідну х, одержуємо

Поставляючи сюди х = 0 і х = , маємо

звідки В = 0

звідки sinl =0, l_n=pn; n = 0, 1, 2..,

х º 0 и w º 0

Таким чином, Х_n(х)= А cos p nx. Враховуючи l_n, запишемо

Таким чином, власні функції задачі Штурма-Ліувілля знайдені

і рішення нашого рівняння запишеться у вигляді

Тут D_n=C_nА. Залишилося задовольнити початковим умовам:

w(x,0)= f(x) – v(x)= - 5,

w(x,0)= -5 =.

Розкладаючи Р(х) = -5 на відрізку 0,1 в ряд по косинусах (тобто продовжуючи її парним чином), маємо

де

таким чином, D_n=a_n=0 для n³ 1, і рішення має вид w(x, t)=D₀e оскільки .

Таким чином, рішенням початкової задачі є функція

u(x,t)=v(x)+w(x,t)=

Перевірка:

u_t=5b²; u_xx = 0; -b²u= -b²+5b²

u_t=a²u_xx- b²u + b²;

5b²= 0 – 5 b²(1-5) + b²,

тобто рішення знайдено вірно, ця функція задовольняє також початковим і крайовим умовам.

Задачі для самостійного розв’язування

1. Знайти рішення рівняння, яке задовольняє умовам u(0,t)= u(l, t) = 0, t > 0

Відповідь:

2. Даний тонкий однорідний ізольований стрижень завдовжки l, початкова температура якого . Кінці стрижня підтримуються при температурі, рівній нулю. Визначити температуру стрижня у момент часу t > 0.

Відповідь:

3. Даний тонкий однорідний стрижень завдовжки l, бічна поверхня якого теплоізольована. Початкова температура стрижня відома. На обох кінцях стрижня (х = 0 і х =l) відбувається теплообмін з навколишнім середовищем, температура якого вважається рівною нулю. Визначити температуру стрижня у момент часу t > 0.

Відповідь:

де ;

m₁, m₂, m₃…. позитивні корені рівняння

Вказівка. Крайові умови:

4. Вирішити задачу про охолодження однорідного стрижня з теплоізолйованою бічною поверхнею, якщо його початкова температура u(x,0)=j(x).

Один кінець теплоізолйований, а інший підтримується при постійній температурі u₀.

Відповідь:

Вказівка. Задача приводиться до інтегрування рівняння за умов Рішення слід шукати у вигляді u(x,t)=u₀+v(x,t), де v(x,t) - невідома функція.

5. Знайти стаціонарне розподілення температури всередині нескінченного циліндру радіусу , якщо на лівій половині поверхні циліндру (0≤φ<π) підтримується температура –Т, а на правій половині (-π≤φ<0) – температура Т. Вирахувати температуру в точці

Відповідь:

Зокрема, в точці отримуємо

6. Всередині нескінченного колового циліндра радіусу l відбувається рух нестискаємої рідини. Вважаючи рух установленим, потенційним і плоскопаралельним, знайти закон руху, якщо проекція швидкості на зовнішню нормаль циліндра в кожній точці на поверхні циліндра задається формулою:

проекція на

Відповідь:

7. Знайти закон охолодження нескінченного циліндра радіусу l, якщо в початковий момент температура всіх його внутрішніх точок дорівнює А , а на його поверхні підтримується постійна температура 0°. Знайти перший член розкладу в ряд.

Відповідь:

Зокрема, перший член ряду

8. Знайти функцію , гармонічну всередині кола радіусу R з центром на початку координат і таку , що:

1) 2) 3)

Відповідь:

1) Ar cosj + C; 2) ; 3) .

9. Знайти стаціонарне розподілення температури всередині нескінченного циліндра радіусу R, якщо на його поверхні підтримується температура

Відповідь: .

10.Знайти функцію, гармонічну в колі 1<r<2 і таку, що

Відповідь:

1) ; 2) .

11. Дослідити радіальний розподіл теплоти в нескінченному круговому циліндрі радіуса , бічна поверхня якого підтримується при сталій температурі . Початкова температура всередині циліндра дорівнює нулю.

Відповідь :

12. Початкова температура тонкого однорідного стрижня довжиною дорівнює нулю. На кінці температура підвищується з часом . На кінці підтримується нульова температура. Знайти розподіл температури вздовж стрижня .

Відповідь :

13. Знайти розподілення температури в стрижні, кінці якого підтримуються при заданих температурах, :

, , .

Початкова температура .

Відповідь :

14. Знайти розв¢язок одномірного хвильового рівняння при 0<x<, t>0,

Який дозволяє крайові

при t>0

І початкові умови

Відповідь:

15. Знайти рішення одномірного рівняння теплопровідності

при 0<x<, t>0,

Який задовольняє крайові

при >0

І початкову умови

при 0<x<l.

Відповідь:

k=1,2,…

16. Знайти розв¢язок одномірного рівняння теплопровідності

при 0<x<, t>0,

Який задовольняє крайові умови

при t>0

І початкову умову

при 0<x<l.

Відповідь:

17. Визначити стаціонарний розподіл температури всередині твердого тіла, яке має форму обмеженого циліндра, якщо до нижньої основи z=0 підведено сталий теповий потік q, бічна поверхня і верхня основа підтримуються при нульовій температурі.