Основные понятия векторной алгебры. Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов

Глава 1. Векторная алгебра

§1. Основные понятия векторной алгебры

       При определении понятий и доказательстве утверждений векторной алгебры мы будем опираться на школьную геометрию (планиметрию и стереометрию).

Определение.

       Отрезок называется направленным, если определено (указано) какой конец считается первым, а какой вторым.

Определение.

      Вектор – это направленный отрезок. Второй конец вектора будем обозначать стрелкой (см. Рис. 1). Его будем называть концом вектора. Другой конец вектора (где нет стрелки) будем называть началом вектора.

Рис. 1.

Концы вектора будем обозначать большими латинскими буквами, например, начало вектора буквой , а конец буквой . В этом случае сам вектор будем обозначать символом  . Кроме того, векторы будем обозначать маленькими латинскими буквами, например  .

Определение.

        Два вектора называются коллинеарными если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

     Два коллинеарных вектора могут быть направлены в одну и туже сторону или в противоположные стороны. Если коллинеарные векторы направлены в одну и ту же сторону, то будем говорить, что они сонаправлены, если они направлены в противоположные стороны, то будем говорить, что они противонаправлены.

         Дадим определение длины вектора.

Определение.

         Длиной вектора называется длина соответствующего ему отрезка.

         Если вектор обозначен символом , то его длина обозначается символом , если вектор обозначается символом , то его длина обозначается символом  . Таким образом,   - это геометрический объект (отрезок), в то время как   есть число (длина вектора).

         Теперь дадим определение равенства двух векторов.

Определение.

         Два вектора   и  называются равными, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют одинаковую длину. В этом случае пишут .

          Используя элементарную геометрию, легко доказать следующую теорему.

Теорема 1.  

           От любой точки пространства можно отложить вектор, равный данному.

Доказательство.

         Пусть даны вектор   и точка . Если точка  и вектор не лежат на одной прямой, то через точку

                                     Рис. 2.

 проведем прямую, параллельную вектору . Далее, от точки отложим отрезок, длина которого равна длине вектора  .    Стрелку  поставим   у того конца полученного отрезка,  чтобы получившийся вектор был сонаправлен с вектором  .  Тогда, согласно определению, построенный вектор будет равен вектору   . Если точка и вектор  лежат на одной прямой,  то вектор, равный вектору   строим на этой прямой аналогично.

          Теперь дадим определение угла между векторами. Пусть векторы  и   отложены от общей точки. Тогда векторы и   образую геометрический угол. Мера этого угла называется углом между векторами   и   (см. Рис. 3).

Рис. 3.

Пусть теперь векторы  и  имеют разные начала.

Рис. 4.

Возьмем в пространстве какую-нибудь точку  и от этой точки отложим векторы  и . Угол между векторами  и  , отложенными от общей точки и называется углом между векторами   и  (если их начала не совпадают).

          Введем операции сложения и вычитания векторов.

Определение.

         Пусть даны два вектора   и (Рис. 5).

Рис. 5.

От конца вектора   отложим вектор  (это можно сделать согласно теореме 1).  Затем соединим отрезком начало вектора   и конец вектора  . У полученного отрезка поставим стрелку у конца вектора . Полученный вектор называется суммой векторов  и  и  обозначается   .

           Такое сложение векторов называется сложением векторов по правилу треугольника.

            Введем понятие нулевого вектора.

Определение.   

         Нулевым вектором называется вектор, у которого начало совпадает с концом, т.е. точка. Нулевой вектор обозначается символом  .

           Часто используется другой способ сложения векторов – сложение векторов по правилу параллелограмма. Сформулируем это правило в виде теоремы.

Теорема 2.

          Пусть даны два вектора    и  . Выберем в пространстве какую-нибудь точку  и от этой точки отложим векторы  и  (это можно сделать согласно теореме 1). Затем

Рис.6.

через конец вектора   проведем прямую, параллельную вектору , а через конец вектора проведем прямую, параллельную вектору . Получим параллелограмм  (см. Рис. 6). Соединим отрезком точки и   (диагональ параллелограмма) и поставим стрелку у точки . Тогда вектор будет равен сумме .

Доказательство.

          Имеем   (согласно свойствам параллелограмма). Но тогда по определению суммы векторов (сложение по правилу треугольника  .

          Сформулируем свойства операции сложения.

Теорема 3.

     Имеют место следующие свойства операции сложения:

1)   (коммутативность)

2)    (ассоциативность)

3)

Доказательство.

1) Если складывать  и  по правилу параллелограмма, то векторы и   являются диагональю одного и того же параллелограмма и поэтому равны.

2) Из Рис. 7 видно, что при сложении векторов  и   и при сложении векторов    и   получается один и тот же вектор.

Рис. 7.

3) Если от конца вектора   отложить нулевой вектор, то конец нулевого вектора будет совпадать с концом вектора  . Поэтому  .

       Введем понятие вектора, противоположного вектору .

Определение.

         Вектором, противоположным вектору  называется вектор, коллинеарный  вектору   , имеющий длину, равную длине вектора и противонаправленный вектору . Вектор, противоположный вектору , будем обозначать символом

.

       Имеет место следующее свойство.

Теорема 4.

        Для любого вектора   справедливо равенство .

Доказательство.

         Если от конца вектора  отложить вектор , то конец вектора совпадет с началом вектора . Но это и означает, что .

Замечание.

         Если вектор обозначается парой букв, например, (первая буква соответствует началу, вторая буква соответствует концу), то правило сложения векторов по правилу треугольника можно записать так . В этой записи конец вектора  совпадает с началом вектора . В результате получается вектор с началом в точке и концом в точке .

        Если дан вектор , то вектор   есть вектор, противоположный вектору . В самом деле, вектора и коллинеарны, имеют одинаковую длину, но направлены в противоположные стороны. Итак, .

        Определим операцию разности двух векторов.

Определение.

         Разностью двух векторов  и  называется такой вектор , что справедливо равенство  . Разность векторов  и  обозначается . Таким образом, если , то  .

          Если даны векторы  и , то вектор  можно построить так. Отложим от одной и той же точки

Рис. 8.

векторы  и  . Соединим отрезком концы этих векторов и у полученного отрезка поставим стрелку у конца вектора . Полученный таким построением вектор и будет вектор . В самом деле, как видно из рисунка   .

         Вектор можно также построить складывая векторы  и , т.е. имеет место следующая теорема.

Теорема 5.