Основные понятия векторной алгебры. Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов, страница 4

       При сложении векторов их координаты складываются а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число. Записываются эти утверждения в виде

,

.

Доказательство.

,

.

          Далее установим как связаны координаты вектора с координатами его концов.

Теорема.

        Пусть , причем начало вектора точка   имеет координаты , а конец вектора есть точка . Тогда координаты вектора связаны с координатами его концов следующими соотношениями

,

.

Доказательство.

          Пусть   и пусть вектор-проекция вектора   на ось    сонаправлен с осью  (см. рис. 22). Тогда

,

так  как длина отрезка на числовой оси  равна координате правого конца минус координата левого конца. Если вектор

Рис. 22.

 противонаправлен оси  (как на Рис. 23), то

.

                                       Рис. 23.

Если , то в этом случае   и тогда получаем

.

Таким образом, при любом расположении вектора относительно осей координат его координата  равна

.

Аналогично доказывается, что

.

Пример.

Даны координаты концов вектора :  . Найти координаты вектора .

Решение.

.

В следующей теореме приводится выражение длины вектора через его координаты.

Теорема 15.

        Пусть .Тогда

.

Доказательство.

            Пусть   и   - вектор-проекции вектора  на оси и  , соответственно. Тогда, как показано при доказательстве теоремы 9, имеет место равенство

.

При этом, векторы   и   взаимно перпендикулярны. При сложении этих векторов по правилу треугольника получаем прямоугольный треугольник (см. Рис. 24).

 Рис. 24.

По теореме Пифагора имеем

.

Но

,

.

Следовательно

,

.

Отсюда

.

Или

.

Пример.

                 .Найти .

Решение.

.

         Введем понятие направляющих косинусов вектора .

Определение.

         Пусть вектор  составляет с осью  угол ,  а с осью   угол     (см. Рис. 25).

Рис. 25.

Тогда

,

.

Следовательно,

Так как для любого вектора  имеет место равенство

,

Где   -  орт вектора , то есть вектор единичной длины, сонаправленный с вектором  , то

.

Вектор  определяет направление вектора .  Его координаты   и   называются направляющими косинусами вектора  . Направляющие косинусы вектора можно выразить через его координаты по формулам

,

.

Имеет место соотношение

.

           До настоящего момента в этом параграфе считалось, что все векторы располагаются в одной и той же плоскости. Теперь сделаем обобщение для векторов в пространстве.

          Будем считать, что в пространстве задана Декартова система координат с осями  ,   и .

Орты осей ,  и   будем обозначать символами , и  , соответственно (Рис. 26).

         Можно показать, что все понятия и формулы, которые были получены для векторов на плоскости, обобщаются для

                                               Рис. 26.

векторов в пространстве. Тройка векторов  называется ортонормированным базисом в пространстве.

        Пусть  ,  и   - вектор-проекции вектора на оси ,  и  ,  соответственно. Тогда

.

В свою очередь

,

,

.

Если обозначить

,

,

,

То получаем равенство

.

Коэффициенты перед базисными векторами ,  и  называются координатами вектора . Таким образом, для любого вектора  в пространстве существует тройка чисел , ,  , называемых координатами вектора таких, что для  этого вектора справедливо представление

.

Вектор  в этом случае также обозначают в виде . При этом, координаты вектора равны проекциям этого вектора на координатные оси

,

,

,

где  -  угол между вектором   и осью ,  - угол между вектором   и осью ,   - угол между вектором  и осью .

       Длина вектора   выражается через его координаты по формуле

.

         Справедливы утверждения о том, что равные векторы имеют равные координаты, при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число. ,   и называются направляющими косинусами вектора . Они связаны с координатами вектора формулами

 ,  ,  .

Отсюда следует соотношение

.

        Если концы вектора  имеют координаты  ,  , то координаты вектора   связаны с координатами концов вектора соотношениями

,

,

.

Пример.

Даны точки  и  . Найти координаты вектора  .

Решение.

.

§4. Скалярное произведение векторов  

Определение.

        Пусть даны два ненулевых вектора   и  . Скалярным произведением векторов   и называется число, обозначаемое  и равное

,

где  - угол между векторами   и . Если хотя бы один из векторов нулевой, то полагаем, что . При обозначении скалярного произведения точка часто опускается.

        Свойства скалярного произведения сформулируем в виде теоремы.

Теорема.

Свойства скалярного произведения.

1)

2)

3)

4)

5) Если , и   - орты осей координат, то

.

6) Если 

,

,

то

.

7) Векторы  и  взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда

Доказательство.

         Свойства  1, 2, 3,  5 следуют непосредственно из определения скалярного произведения. Свойство 4 следует из теоремы  10 о проекции суммы векторов. Действительно,

.

Далее из свойств 4 и 5 получаем свойство 6. Имеем

В последних равенствах учтено, что

,

а

.

       Рассмотрим свойство 7.  Если векторы  и  взаимно перпендикулярны, то

.

Если же

,

где - угол между векторами и  и  ненулевые векторы, то . Отсюда   и значит векторы   и   взаимно перпендикулярны. Таким образом, чтобы ненулевые векторы    и были взаимно перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство  .

         Из определения скалярного произведения следует, что если  и   ненулевые векторы, то

.

В свою очередь, зная координаты векторов, можно найти скалярное произведение и длины векторов. Таким образом, зная координаты векторов, можно найти косинус угла между векторами, а зная косинус можно найти и сам угол.

Пример.

.

Найти угол между векторами.

Решение.

Отсюда

.