Основные понятия векторной алгебры. Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов, страница 5

§5. Векторное произведение векторов

Введем понятие определителя. С помощью определителя удобно записывать одно из свойств векторного произведения векторов. Кроме того, понятие определителя будет применяться при рассмотрении смешанного произведения векторов.

Матрицей размером называется таблица из чисел вида

Определителем этой матрицы называется число, обозначаемое в виде

и вычисляемое по формуле

Матрицей размера называется таблица вида

Определитель этом матрицы есть число, обозначаемое в виде

Этот определитель можно вычислить следующим образом. Выбирается какая-то строка или какой-то столбец. Возьмем, например первую строку. Тогда вычисление определителя проводится по формуле

То есть определитель есть сумма трех слагаемых. Каждое слагаемое образуется так. Последовательно берутся элементы выбранной строки или столбца (в данном случае выбрана первая строка) и умножаются на , где - номер строки, в которой находится данный элемент, а - номер столбца, в котором он находится. Затем полученное число умножается на определитель размером , который получается вычеркиваем строки и столбца, в которых расположен взятый элемент. Такой способ вычисления определителя называется разложением его по строке или по столбцу.

Пример.

Вычислить определитель, разложив его по 2-й строке.

Решение.

Введем понятие ориентации базиса пространства.

Определение.

Три ненулевых вектора , и называются компланарными, если они, будучи отложенными от одной точки, лежат в одной и той же плоскости. Будем говорить, что имеется упорядоченная тройка некомпланарных векторов, если все три вектора ненулевые и не лежат в одной плоскости (будучи отложенными от общей точки).

Заметим, что два вектора всегда лежат в одной плоскости. Третий же вектор может лежать, а может и не лежать в той плоскости, в которой лежат первые два вектора. Плоскость, в которой лежат два вектора, разбивает все пространство на два полупространства.

Определение.

Пусть имеется упорядоченная тройка некомпланарных векторов . Плоскость, в которой расположены векторы и , делит все пространство на два полупространства. Тогда третий вектор находится в одном из этих полупространств. Упорядоченная тройка векторов называется правой при условии, что если смотреть из полупространства, в котором расположен вектор , кратчайший поворот от вектора к вектору (то есть от первого вектора ко второму) осуществляется против часовой стрелки. Если же кратчайший поворот от к осуществляется по часовой стрелке, то упорядоченную тройку векторов называют левой. Все тройки некомпланарных векторов делятся на правые и левые.

Рассмотрим тройку базисных векторов . В зависимости от взаимной ориентации векторов эта тройка может быть как правой, так и левой. В дальнейшем будем считать, что тройка базисных векторов всегда правая. Такой ориентации базисных векторов соответствует ориентация осей координат, показанная на Рис. 27.

Рис. 27.

В этом случае говорят, что выбрана ориентация базиса в пространстве.

Далее вводится понятие векторного произведения векторов.

Определение.

Пусть даны два ненулевых неколлинеарных вектора и . Векторным произведением векторов и называется вектор, обозначаемый и удовлетворяющий следующим условиям:

1) Вектор перпендикулярен одновременно и вектору и вектору , а значит перпендикулярен и плоскости, в которой лежат эти векторы (если их отложить от общей точки).

2) , где- угол между векторамии .

3) Если вектор отложить от общей точки векторов (на рисунке 28 это точка ), то вектор направлен так, что если смотреть из конца вектора , то кратчайший поворот от вектора к вектору (то есть от первого сомножителя ко второму) осуществляется против часовой стрелки. Можно также сказать что векторы, и образуют правую тройку векторов. Таким образом, вектор должен быть направлен так, как показано на Рис. 28.

Если хотя бы один из векторов и нулевой или эти векторы коллинеарны, то по определению полагается, что

. При этом, формула

остается справедливой.

Рис. 28.

Свойства векторного произведения.

3) Если - число, то

4) Если тройка базисных векторов правая, то

5) Если

и тройка базисных векторов правая, то векторное произведение можно вычислить символически с помощью определителя, разлагая его по первой строке

6) Пусть даны два ненулевых неколлинеарных вектора и . Отложим их от общей точки и построим параллелограмм, как это показано на рисунке 29. Такой параллелограмм называется

Рис.29.

параллелограммом, построенным на векторах и . Тогда площадь этого параллелограмма равна

а площадь треугольника равна

Свойства 1, 3 и 4 следуют непосредственно и определения векторного произведения. Свойство 5 легко доказать, если справедливо свойство 2. В самом деле, разлагая определитель по 1-й строке, получим