Математика \ Векторная алгебра

Основные понятия векторной алгебры. Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов, страница 14

При этом, если прямые совпадают, то тройка чисел , являющихся координатами точки , будет решением уравнения прямой . Если же прямые параллельны, то тройка чисел не будет решением уравнения прямой , то есть при подстановке этих чисел в уравнение прямой не будут получены верные числовые равенства.

Рис. .35

Если направляющие векторы прямых и не коллинеарны, то прямые либо пересекаются в одной точке, либо скрещиваются.

Если прямые пересекаются в одной точке, то либо точки и совпадают, то есть имеют равные координаты, либо пересекаются в другой точке и тогда точки и лежат на разных прямых. В последнем случае векторы и лежат в одной плоскости (смотри Рис. 18), то есть компланарны. Условием же компланарнасти является равенство нулю смешенного произведения этих векторов. Поэтому, если

то прямые пересекаются в одной точке. Если же смешанное произведение не равно нулю, то прямые скрещиваются.

Рассмотрим пример.

Пример.

Определить взаимное расположение прямых

Направляющие векторы прямых и не коллинеарны, так как если бы они были коллинеарны, то существовало бы число такое, что справедливо векторное равенство

Или, в координатах

Но, как легко видеть, эта система не совместна. Следовательно, прямые либо пересекаются в одной точке, либо скрещиваются. Первая прямая проходит через точку , вторая через точку , причем эти точки не совпадают. Найдем смешанное произведение векторов и

Так как смешанное произведение не равно нулю, то прямые скрещиваются.

Перейдем к рассмотрению угла между прямыми в пространстве. Угол между двумя прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. При этом необходимо учесть, что в зависимости от выбора направлений направляющих векторов угол между ними может быть как острым, так и тупым (или прямым). Так, если в качестве направляющих векторов (см. Рис. 18) выбрать и , то угол между ними будет острым. Этот угол равен острому углу между прямыми. Если же в качестве направляющих векторов выбрать и , то угол между ними равен

Рис. 36.

тупому углу между прямыми. Косинус угла между направляющими векторами можно определить через скалярное произведение по формуле

При этом , если , то получаем, что угол острый угол между прямыми. Если же , то угол является тупым углом между прямыми. Однако, острый и тупой угол в сумме составляют 180^o. Поэтому, найдя один из них, легко можно найти и другой. Если же воспользоваться формулой

то всегда будем получать острый угол между прямыми (или прямой). Рассмотрим пример.

Пример.

Найти угол между прямыми

Направляющие векторы прямых равны и . Следовательно, воспользовавшись формулой для нахождения косинуса острого угла, получим

Тогда острый угол между прямыми равен

Глава 5. Взаимное расположение прямой и плоскости

Из элементарной геометрии известно, что возможны следующие варианты взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:

а) прямая лежит в плоскости;

б) прямая параллельна плоскости;

в) прямая пересекает плоскость в одной точке.

Выясним как по уравнениям прямой и плоскости определить их взаимное расположение.

Пусть плоскость задана уравнением

а прямая задана каноническим уравнением

Тогда нормаль к плоскости равна . Прямая проходит через точку и имеет направляющий вектор .

Если прямая лежит в плоскости, то направляющий вектор прямой перпендикулярен нормали к плоскости. Кроме того, точка должна принадлежать плоскости и, следовательно, тройка чисел является решением уравнения плоскости.

Таким образом, если (условие перпендикулярности векторов) и тройка чисел является решением уравнения плоскости, то прямая лежит в плоскости. Если же , но тройка чисел не является решением уравнения плоскости, то прямая параллельна плоскости.

Если вектор не перпендикулярен вектору , то прямая пересекает плоскость в одной точке. Рассмотрим на конкретном примере задачу о нахождении координат точки пересечения прямой и плоскости.

Пример.

Найти точку пересечения прямой

и плоскости

Решение.

Задачу удобно решать, если уравнение прямой записать в параметрическом виде

Так как точка пересечения прямой и плоскости принадлежит одновременно и прямой и плоскости, то ее координаты должны удовлетворять одновременно и уравнению плоскости и уравнениям прямой, то есть ее координаты должны удовлетворять системе уравнений

Решая систему, находим . Следовательно, точка пересечения прямой и плоскости имеет координаты .

Если прямая пересекает плоскость в одной точке и не перпендикулярна плоскости, то углом между прямой и плоскостью называется острый угол (смотри Рис.18) между прямой и проекцией прямой на плоскость. Если прямая перпендикулярна плоскости, то полагают, что . Если же прямая параллельна плоскости или лежит в плоскости, то полагают, что . Выясним, как зная уравнения прямой и плоскости, определить угол между прямой и плоскостью.

Пусть плоскость задана уравнением

Рис. 37.

а прямая задана каноническими уравнениями

Тогда вектор нормали к плоскости равен , а направляющий вектор прямой равен . Косинус острого угла между нормалью к плоскости и направляющим вектором прямой (Рис. 18) можно найти используя скалярное произведение по формуле