Основные понятия векторной алгебры. Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов, страница 14

.

При этом, если прямые совпадают, то тройка чисел , являющихся координатами точки ,  будет решением уравнения прямой . Если же прямые параллельны, то тройка чисел  не будет решением уравнения прямой , то есть при подстановке этих чисел в уравнение прямой  не будут получены верные числовые равенства.

Рис. .35

          Если направляющие векторы прямых  и  не коллинеарны, то прямые либо пересекаются в одной точке, либо скрещиваются.

            Если прямые пересекаются в одной точке, то либо точки  и   совпадают, то есть имеют равные координаты, либо пересекаются в другой точке и тогда точки  и  лежат на разных прямых. В последнем случае векторы  и  лежат в одной плоскости (смотри Рис. 18), то есть компланарны. Условием же компланарнасти является равенство нулю смешенного произведения этих векторов. Поэтому, если

,

то прямые пересекаются в одной точке. Если же смешанное произведение не равно нулю, то прямые скрещиваются.

             Рассмотрим пример.

Пример.

      Определить взаимное расположение прямых

 .

Направляющие векторы прямых  и  не коллинеарны, так как если бы они были коллинеарны, то существовало бы число  такое, что справедливо векторное  равенство

 .

Или, в координатах

.

Но, как легко видеть, эта система не совместна. Следовательно, прямые либо пересекаются в одной точке, либо скрещиваются. Первая прямая проходит через точку , вторая через точку  , причем эти точки не совпадают. Найдем смешанное произведение векторов  и

  .

Так как смешанное произведение не равно нулю, то прямые скрещиваются.

        Перейдем к рассмотрению угла между прямыми в пространстве. Угол между двумя прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. При этом необходимо учесть, что в зависимости от выбора направлений направляющих векторов угол между ними может быть как острым, так и тупым (или прямым). Так, если в качестве направляющих векторов (см. Рис. 18) выбрать  и , то угол между ними будет острым. Этот угол равен острому углу  между прямыми. Если же в качестве направляющих векторов  выбрать   и  , то угол между    ними   равен

Рис. 36.

тупому углу  между прямыми. Косинус угла между направляющими векторами можно определить через скалярное произведение по формуле

.

При этом , если , то получаем, что угол  острый угол между прямыми. Если же , то угол  является тупым углом между прямыми. Однако, острый и тупой угол в сумме составляют 180o. Поэтому, найдя один из них, легко можно найти и другой. Если же воспользоваться формулой

,

то всегда будем получать острый угол  между прямыми (или прямой). Рассмотрим пример.

Пример.

        Найти угол между прямыми

 .

Направляющие векторы прямых равны  и .  Следовательно, воспользовавшись формулой для нахождения косинуса острого угла, получим

 .

Тогда острый угол между прямыми равен

Глава 5. Взаимное расположение прямой и плоскости

        Из элементарной геометрии известно, что возможны следующие варианты взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:

               а) прямая лежит в плоскости;

               б) прямая параллельна плоскости;

               в) прямая пересекает плоскость в одной точке.

Выясним как по уравнениям прямой и плоскости определить их взаимное расположение.

         Пусть плоскость  задана уравнением

,

а  прямая  задана каноническим уравнением

 .

Тогда нормаль к плоскости равна .  Прямая проходит через точку  и имеет направляющий вектор .

          Если прямая лежит в плоскости, то направляющий вектор прямой перпендикулярен нормали к плоскости. Кроме того, точка  должна принадлежать плоскости и, следовательно, тройка чисел  является решением уравнения плоскости.

           Таким образом, если  (условие перпендикулярности векторов) и тройка чисел  является решением уравнения плоскости, то прямая лежит в плоскости. Если же , но тройка чисел  не является решением уравнения плоскости, то прямая параллельна плоскости.

         Если вектор не перпендикулярен вектору , то прямая пересекает плоскость в одной точке. Рассмотрим на конкретном примере задачу о нахождении координат точки пересечения прямой и плоскости.

Пример.

          Найти точку пересечения прямой

и плоскости

 .

Решение.

          Задачу удобно решать, если уравнение прямой записать в параметрическом виде

   .

Так как точка пересечения прямой и плоскости принадлежит одновременно и прямой и плоскости, то ее координаты должны удовлетворять одновременно и уравнению плоскости и уравнениям прямой, то есть ее координаты должны удовлетворять системе уравнений

 

Решая систему, находим   .  Следовательно, точка пересечения прямой и плоскости имеет координаты  .

         Если прямая пересекает плоскость в одной точке и не перпендикулярна плоскости, то углом между прямой и плоскостью называется острый угол (смотри Рис.18) между прямой и проекцией прямой на плоскость. Если прямая перпендикулярна плоскости, то полагают, что . Если же прямая параллельна плоскости или лежит в плоскости, то полагают, что . Выясним, как зная уравнения прямой и плоскости, определить угол между прямой и плоскостью.

        Пусть плоскость задана уравнением

Рис. 37.

 ,

а прямая  задана каноническими уравнениями

 .

Тогда вектор нормали к плоскости равен , а направляющий вектор прямой равен . Косинус острого угла между нормалью к плоскости и направляющим вектором прямой (Рис. 18) можно найти используя скалярное произведение по формуле

 .

Отсюда

 .

Тогда острый угол  между прямой и плоскостью равен (смотри Рис. 18)

.

Рассмотрим пример.

Пример.

        Найти угол между прямой

 

и плоскостью

 .

Решение.

         Направляющий вектор прямой и нормаль к плоскости равны


Тогда

 .

Отсюда

.

Тогда острый угол между прямой и плоскостью равен

.