Основные понятия векторной алгебры. Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов, страница 7

           Ниже рассматривается уравнение прямой на плоскости, проходящей через заданную точку и перпендикулярную заданному вектору.

Теорема.

       Уравнение прямой, проходящей через заданную точку  и перпендикулярной заданному вектору  (нормаль к прямой) имеет вид

.

Доказательство.

         Из элементарной геометрии известно, что на плоскости через заданную точку   можно провести единственную прямую, перпендикулярную заданному вектору .

Рис. 34.

Докажем, что уравнение этой прямой имеет вид

.

Пусть  - произвольная точка прямой, отличная от точки . Покажем, что ее координаты удовлетворяют уравнению

 ,

то есть, что пара чисел есть решение этого уравнения. Из рисунка 18 видно, что и значит . Вектор   имеет координаты

.

Следовательно, векторное равенство

С учетом выражения скалярного произведения через координаты запишется в виде

,

то есть это выражение есть верное числовое равенство. Но тогда пара чисел  есть решение уравнения

,

так как при подстановке вместо  и   в это уравнение чисел  и  , соответственно, получаем верное числовое равенство. Верное числовое равенство также получается при подстановке пары чисел  (это проверяется непосредственно). Итак, координаты любой точки прямой являются решением этого уравнения. Докажем теперь обратное утверждение о том, что если пара чисел  есть решение уравнения

,

то точка  лежит на прямой.  Доказательство будем проводить от противного. Допустим, что точка  не лежит на прямой (см. рисунок 35).

Рис.35 .

Тогда вектор  не лежит на прямой и не параллелен прямой. Следовательно, вектор  не перпендикулярен вектору . Но тогда

(условие неперпендикулярности двух векторов).  В координатах это неравенство принимает вид

 .

Это означает, что пара чисел   не есть решение уравнения

 .

Получили противоречие, так как по предположению пара чисел   есть решение этого уравнения. Следовательно, верным является утверждение, что точка   лежит на прямой. Теорема доказана.

      Рассмотрим пример.

Пример.

          Записать уравнение прямой, проходящей через точку  и перпендикулярной вектору  .

Решение.

      Согласно доказанной выше теореме, уравнение имеет вид

или

.

         Если в рассмотренном выше уравнении прямой

раскрыть скобки, то уравнение примет вид

.

Введя обозначение

,

получим уравнение в виде

.

Покажем, что уравнение любой прямой можно записать в таком виде и, наоборот, что уравнение такого вида есть уравнение некоторой прямой на плоскости. Утверждение формулируем в виде теоремы.

Теорема 8.

      Уравнение любой прямой на плоскости можно записать в виде

,

где хотя бы одно и чисел  и  отлично от нуля, а вектор перпендикулярен прямой (нормаль к прямой); и наоборот, уравнение вида

,

где хотя бы одно из чисел   и  отлично от нуля, есть уравнение какой-то прямой на плоскости, причем вектор  перпендикулярен этой прямой.

Доказательство.

       Пусть на плоскости имеется прямая. Из элементарной геометрии известно, что существует точка , лежащая на прямой и существует ненулевой вектор , перпендикулярный этой прямой ( так как вектор ненулевой, то хотя бы одно из чисел   и  отлично от нуля). Но тогда, как было показано выше, уравнение прямой имеет вид

 .

Раскрывая скобки, получим

 .

Обозначим  . Тогда уравнение примет вид

 ,

причем вектор  перпендикулярен прямой (нормаль к прямой) и хотя бы одно из чисел  и  отлично от нуля. Следовательно, уравнение любой прямой на плоскости можно записать в виде

,

причем  вектор  отличен от нуля.

         Теперь докажем что уравнение вида

,

где хотя бы одно из чисел   и отлично от нуля, есть уравнение какой-то прямой. Пусть, например, . Пусть - произвольное число. Положим

(так как , то  существует). Непосредственной подстановкой в уравнение нетрудно убедиться, что пара чисел   является решением рассматриваемого уравнения. Следовательно выражение

есть верное числовое равенство. Тогда уравнение

или, что то же самое

эквивалентно  исходному уравнению

.

Но, как было показано выше, уравнение

есть уравнение прямой, проходящей через точку  и перпендикулярной вектору . Следовательно, эквивалентное ему уравнение

также является уравнением этой же прямой.

        Итак, доказано, что уравнение любой прямой на плоскости можно записать в виде

  ,

где - нормаль к прямой и наоборот, уравнение вида

,

где хотя бы одно из чисел  и   отлично от нуля, есть уравнение какой-то прямой на плоскости, причем вектор перпендикулярен этой прямой. Уравнение прямой, записанное в таком виде, называется общим уравнением прямой.

§2. Параметрические и канонические уравнения прямой на плоскости

        Как известно из элементарной геометрии, на плоскости существует единственная прямая, проходящая через заданную току и коллинеарная заданному вектору. Уравнение такой прямой можно записать в виде так называемых параметрических уравнений прямой или канонического уравнения прямой, рассматриваемых ниже. Вначале рассмотрим параметрические уравнения прямой. Утверждение о возможности записи уравнения прямой на плоскости в виде параметрических уравнений сформулируем в виде теоремы.

Теорема.

      Пусть прямая проходит через точку  и коллинеарна вектору   (т.е. вектор  либо параллелен прямой, либо лежит на прямой). Тогда уравнения этой прямой можно записать в виде

,

где  .

        Утверждение о том, что эти уравнения являются уравнениями рассматриваемой прямой означает следующее:

1) если  - любая точка, лежащая на прямой, то существует число   такое, что тройка чисел  является решением рассматриваемой системы уравнений;

2) если тройка чисел  есть любое решение рассматриваемой системы, то точка   лежит на рассматриваемой прямой.