Основные понятия векторной алгебры. Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов, страница 13

называют каноническими уравнениями прямой. Смысл этого уравнения состоит в том, что по виду этого уравнения мы можем определить точку, через которую проходит прямая и направляющий вектор прямой. После этого можно записать параметрические уравнения прямой и от них перейти к общим уравнениям прямой. Пусть, например, канонические уравнения прямой заданы в условном виде

.

По уравнениям находим, что точка, через которую проходит прямая, есть , а направляющий вектор равен . Следовательно, параметрические уравнения прямой имеют вид

.

Или

.

Тогда общими уравнениями прямой будет система уравнений

,

При этом может принимать любые значения. Сама прямая в этом случае параллельна оси .

§ 3. Переход от одного вида уравнения прямой к другому виду

         Как показано выше, уравнения одой и той же прямой можнозаписать по крайней мере в трех видах: общие уравнения прямой, параметрические уравнения прямой и канонические уравнения прямой. Рассмотрим вопрос о переходе от уравнений прямой одного вида к уравнениям прямой в другом виде.

        Во-первых заметим, что если заданы уравнения прямой в параметрической форме, то тем самым заданы точка, через которую проходит прямая и направляющий вектор прямой. Поэтому не составляет труда записать уравнения прямой в канонической форме.

Пример.

        Даны уравнения прямой в параметрической форме

.

Записать канонические уравнения прямой.

Решение.

       Прямая проходит через точку  и имеет направляющий вектор . Следовательно, канонические уравнения прямой имеют вид

.

Аналогично решается задача о переходе от канонических уравнений прямой к параметрическим уравнениям прямой.

        Переход от канонических уравнений прямой к общим уравнениям прямой рассматривается ниже на примере.

Пример.

        Даны канонические уравнения прямой

.

Записать общие уравнения прямой.

Решение.

         Запишем канонические уравнения прямой в виде системы двух уравнений

.

Избавляясь от знаменателей путем умножения обеих частей первого уравнения на 6, а второго уравнения на 4, получим систему

.

Или

.

Полученная система уравнений и есть общие уравнения прямой.

          Рассмотрим переход от общих уравнений прямой к параметрическим и каноническим уравнениям прямой. Чтобы записать канонические или параметрические уравнения прямой, надо знать точку, через которую проходит прямая, и направляющий вектор прямой. Если определить координаты двух точек  и , лежащих на прямой, то в качестве направляющего вектора м можно взять вектор .  Координаты двух точек, лежащих на прямой, можно получить как решения системы уравнений, определяющих общие уравнения прямой.  В качестве точки, через которую проходит прямая, можно взять любую из точек и . Проиллюстрируем сказанное выше на примере.

Пример.

         Даны общие уравнения прямой

.

Записать параметрические и канонические уравнения прямой.

Решение.

       Найдем координаты двух точек, лежащих на прямой, как решения этой системы уравнений. Полагая , получим систему уравнений

.

Решая эту систему, находим  . Следовательно, точка лежит на прямой. Полагая , получаем систему уравнений

,

решая которую находим  . Следовательно, прямая проходит через точку . Тогда в качестве направляющего вектора можно взять вектор

.

Итак, прямая проходит через точку  и имеет направляющий вектор . Следовательно, параметрические уравнения прямой имеют вид

.

Тогда канонические уравнения прямой запишутся в виде

.

          Другой способ нахождения направляющего вектора прямой по общим уравнениям прямой основан на том, что в этом случае заданы уравнения плоскостей, а значит и нормали к этим плоскостям.

         Пусть общие уравнения прямой имеют вид

 и   - нормали к первой и второй плоскости, соответственно. Тогда вектор  можно взять в качестве направляющего вектора прямой. В самом деле, прямая, будучи линией пересечения этих плоскостей, одновременно перпендикулярна векторам  и . Следовательно, она коллинеарна вектору  и значит этот вектор можно взять в качестве направляющего вектора прямой. Рассмотрим пример.

Пример.

        Даны общие уравнения прямой

  .

Записать параметрические и канонические уравнения прямой.

Решение.

       Прямая является линией пересечения плоскостей с нормалями  и  . Берем в качестве направляющего вектора прямой вектор

Найдем точку, лежащую на прямой. Найдем точку, лежащую на прямой. Пусть . Тогда получаем систему

  .

Решая систему, находим .Следовательно, точка   лежит на прямой. Тогда параметрические уравнения прямой можно записать в виде

 .

Канонические уравнения прямой имеют вид

 .

Наконец, к каноническим уравнениям можно перейти исключив в одном из уравнений одну из переменных, а затем другую переменную. Рассмотрим этот метод на примере.

Пример.

          Даны общие уравнения прямой

.

Записать канонические уравнения прямой.

Решение.

        Исключим из второго уравнения переменную у, прибавив к нему первое, умноженное на четыре. Получим

 .

Или

 .

Теперь исключим из второго уравнения переменную , прибавив к нему первое уравнение, умноженное на два. Получим

.

Или

 .

Отсюда получаем каноническое уравнение прямой

  .

Или

   .

Или

.

§4. Взаимное расположение прямых в   пространстве. Угол между прямыми.

          Для двух прямых в пространстве возможны следующие варианты их взаимного расположения:

                а) прямые совпадают;

                б) прямые параллельны;

                в) прямые пересекаются;

                г) прямые скрещиваются.

Рассмотрим как зная уравнения прямых определить их взаимное расположение. Пусть прямые  и  заданы своими каноническими уравнениями

      .

Тогда прямая  проходит через точку  и имеет направляющий вектор  , а прямая  проходит через точку   и имеет направляющий вектор . Если прямые совпадают или параллельны, то векторы  и   компланарны, то есть существует число  такое, что верно равенство