Учебный пакет программ “sFlow” для компьютерного моделирования процессов гидродинамики и тепломассообмена, страница 7

                                                      (3.4.4).

К течениям с взаимосвязью давления и плотности относятся сжимаемые течения газа, с параметром «сжимаемости»:

,

и кавитационные течения жидкости. Часто для кавитационных течения принимается пропорциональность параметра связи давление-плотность объемной доли паровой фазы:

.                                                        (3.4.5)

Вывод алгоритма расщепления

В уравнении импульса выделим нестационарный член и градиент давления, остальные слагаемые (конвекция, тензор напряжений и объемная сила) объединим в оператор L:

.                                             (3.4.6)

Запишем уравнение переноса импульса для промежуточной скорости с давлением с предыдущего временного слоя и уравнение переноса импульса, связывающее скорость и давление на текущем временном слое:

                                   (3.4.7)

Здесь временная производная аппроксимирована с первым порядком точности. Вычитая из второго уравнения первое

                  (3.4.8)

и пренебрегая слагаемым

,

(итерационный учет этого члена можно организовать методом PISO)

получаем уравнение коррекции скорости

                                          (3.4.9)

на основе поправки давления

.                                                  (3.4.10)

Действуем оператором дивергенции на уравнение коррекции скорости (3.4.9)

и, используя аппроксимацию уравнения неразрывности (4.1), записанного для n+1-го временного слоя

,                                 (3.4.11)

получаем уравнение поправки давления:

.                           (3.4.12)

С использованием поправки плотности, введенное аналогично поправки давления

                                                            

уравнение для поправки давления можно записать в виде:

.

Учет взаимосвязи полей давления и плотности

                                               (3.4.13)

приводит к модификации уравнения для поправки давления:

.                          (3.4.14)

Процесс вычислений для описываемого одношагового безитерационного метода разбивается на 3 этапа:

1. Определение промежуточной скорости по давлению с предыдущего слоя

                                        (3.4.15)

2. Вычисление давления на основе уравнения для поправки давления

                           (3.4.16)

                                                   (3.4.17)

3. Коррекция скорости

                                          (3.4.18)

Этот процесс реализует идею расщепления по физическим параметрам: на первом этапе производится учет конвективно-диффузионного оператора L и силы давления, на втором этапе выполняется коррекция полей скорости и давления для выполнения закона сохранения массы (уравнения неразрывности).

Построенная разностная методика позволяет получать решение нестационарной задачи или же решение стационарной задачи методом установления. В том случае, если нестационарные эффекты не представляют интереса, целесообразно модифицировать численный алгоритм для уменьшения времени счета. Модификация состоит в том, что t выступает уже не в качестве постоянного временного шага, а в качестве схемного параметра, зависящего от течения в данном контрольном объеме. Выбор этого параметра осуществим на основе рассмотрения неявных итерационных схем для стационарных уравнений переноса импульса.

Запишем дискретный аналог стационарного уравнения количества движения

                                        (3.4.19)

и применим операцию нижней релаксации:

,

сводящуюся к изменению разностного оператора:

,                             (3.4.20)

здесь  - скорость на k-ой итерации и коэффициент нижней релаксации.

Разностная схема для нестационарного уравнения количества движения (3.4.2) имеет следующий вид:

или

                   (3.4.21)

Сравнение нестационарного и стационарного вариантов приводит к выражению для t согласованного с операцией нижней релаксации:

.                                                  (3.4.22)

Приведем выражения для t, использующиеся в процедуре SIMPLE

                                                       (3.4.23)

и в процедуре SIMPLE-C

.                                               (3.4.24)

В стационарном расчете при нахождении давления на втором шаге для усиления устойчивости (но с потерей скорости сходимости) возможно введение нижней релаксации:

.                                              (3.4.25)

Для одношагового нестационарный расчета можно предложить вычисление временного шага по аналогии с формулой (1.22)

или, введя понятие CFL

Обобщение алгоритма

Для увеличения точности и устойчивости метода расщепления обобщим алгоритм для варианта с внутренними итерациями. Для этого в уравнении импульса (1.15) заменим давление и плотность с предыдущего временного слоя на давление и плотность с текущего временного слоя, но с предыдущей итерации:

                             (3.4.26)

Здесь для временного шага введено обозначение Dt.

Поправка давления теперь имеет смысл коррекции давления на текущем временном слое:

                                                   (3.4.27)

Запишем уравнение поправки давления в виде:

.

В данном случае t  выступает на в качестве временного шага, а в качестве схемного параметра, выбор которого позволяет ускорить сходимость внутренних итераций. Аппроксимируем временную производную и введем поправку плотности аналогично поправки давления:

                         (3.4.28)

Объединяя слагаемые коррекции и вводя связь полей плотности и давления, получаем окончательный вид уравнения для поправки давления:

                      (3.4.29)

Коррекция скорости выполняется как и в случае безитерационного метода (1.18):

                                          (3.4.30)

Сделанное обобщение позволяет использовать схемы высокого порядка для аппроксимации временных производных в уравнениях импульса и неразрывности. Для примера запишем популярную трехслойную схему Пейре второго порядка аппроксимации:

                              (3.4.31)

Итерационный процесс вычислений на каждом временном слое состоит из трех этапов:

1. Вычисление промежуточной скорости: