Числовые ряды. Сходимость ряда. Сумма ряда, страница 5

2)   – расходится и – сходится, тогда ряд сходится условно .

Теорема. Если ряд абсолютно сходится, то любая перестановка членов не меняет сумму.

Если ряд сходится условно, то подходящей перестановкой можно сделать его сумму равной любому числу и даже сделать его расходящимся.

Действия над рядами.

,  – абсолютно сходящиеся.

Тогда  – абсолютно сходится.

Функциональные ряды.

, где  – функция.

Область сходимости.

Пусть  фиксировано.

Тогда  сходится, если  –точка сходимости, и расходится, если  – точка расходимости.

 – область сходимости.

Пример:

, то ряд сходится.

, где  – остаток ряда.

Если ряд сходится, то

Мажорируемые ряды

, где  – мажорируемы.

Тогда  – мажоранжа (если ряд сходится), при .

Теорема. О непрерывности суммы ряда.

Пусть .