Анализ и синтез одноконтурных систем автоматического управления (САУ), страница 4

Фазо-частотная характеристика

 Для второго динамического звена:

                    

 Построим расширенные частотные характеристики объекта по каналу регулирования  для  m=0.221, τ =1:


График полученной РАЧХ имеет следующий вид, представленный на рис.18.

Рисунок 18 – РАЧХ по каналу управления

Данные для построения РАЧХ приведены в таблице 2.1.

 Таблица 2.1 

ω

0.01

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

А(m,ω)

98.8

4.03

1.27

0.617

0.36

0.24

0.18

0.13

Для обеспечения непрерывности фазо-частотной характеристики после  точки  разрыва   1/b1m=0,905, прибавляем период -p.

 при ω < 0,905

 при ω ≥ 0,905

Данные для построения РАЧХ приведены в таблице 2.2.

 Таблица 2.2 

ω

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

j(m,ω)

-1.79

-2.89

-3.49

-3.86

-4.13

-4.38

-4.61

-4.84

График полученной РФЧХ имеет следующий вид (рис. 19)

Рисунок  19 –  РФЧХ по каналу управления

2.2. Расчет  и  построение  кривой  с  заданной  степенью  колебательности   в  плоскости  настроек   ПИ-регулятора(S0-S1)

Выведем формулу для расчета настроек  ПИ-регулятора – S0 и S1:

Согласно критерию Найквиста, годограф частотной характеристики устойчивой системы управления не должен охватывать точку с координатами

(-1,j0), поэтому можно записать, что

                                                    Wpc(-mw+jw) = -1

Это критическое значение функции. Найдем настройки ПИ-регулятора

где Аоб(m,w)  и jоб(m,w) – расширенные амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики.


Приравнивая вещественную и мнимую части выражения отдельно, находим настройки  S0 и S1:

Данные для построения плоскости настроек ПИ-регулятора представлены в таблице 2.3.

Таблица 2.3

S0

0

0.002

0.005

0.009

0.012

0.013

0.008

0

 S1

0

0.031

0.064

0.114

0.17

0.213

0.329

0.39

ω

0

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

0.24

0.27

Плоскость настроек ПИ-регулятора при τ = 1 имеет вид, представленный на рис. 20.

Рисунок 20  – Плоскость настроек S0-S1(τ =1)

2.3 Определение оптимальных настроек ПИ-регулятора при τ =1

Оптимальные настройки ПИ-регулятора, обеспечивающие при заданной степени колебательности m минимизацию квадратичной интегральной оценки J2 переходного процесса в замкнутой системе, определяются, как координаты точки, лежащей на правой ветви кривой S0-S1 вблизи её вершины. Найти положение этой точки можно при помощи следующего равенства:

Из графика видно, что wmax соответствует точка с координатами: S0=0.013  S1=0.23

Частота wmax=0.17

wопт=1.3×0.17=0.221

Подставляя найденное значение wопт=0.221 и m=0.221 находим:

S0опт = S0(m,wопт) = 0.011

S1опт = S1(m,wопт) = 0.295

2.4  Построение амплитудно-фазовой характеристики  разомкнутой системы определение запасов устойчивости по модулю и по фазе

 Передаточная функция разомкнутой системы

Для построения АФХ разомкнутой системы найдём вещественную и мнимую части:

Построим АФХ разомкнутой системы при τ =1:

По  выведенным  амплитудно-частотной  и  фазо-частотной  характеристикам  и  найденным  настройкам  регулятора  S0  и  S1  получим:

Где: ,

Данные построения АФХ разомкнутой системы представлены в таблице 2.4.

Таблица 2.4. 

Re

-111.43

-5.748

-4.369

-3.519

-2.546

-2.241

-0.977

Im

-22.82

-4.236

-3.414

-2.815

-1.997

-1.705

-0.414

ω

0.01

0.05

0.06

0.07

0.09

0.1

0.2

По приведённым данным строим АФХ разомкнутой системы  (рис. 21).

f

 

М

 

Рисунок  21 – АФХ разомкнутой системы при τ =1

      Запас устойчивости по модулю М определяется как расстояние от годографа амплитудно-фазовой характеристики при  Im(Wрс(jw))=0  до точки с координатами  (-1;j0).

М = |-1 - (-0.4)| = 0.6

      Запас устойчивости по фазе определяется как угол между отрицательным направлением оси Re и вектором Wрс(jw) единичной длины:

f  = 21°.1’

3.1 Построение  переходных  процессов при τ = 1

3.1  Построение  переходного  процесса  в  замкнутой  системе  по  каналу  управления.

Общая формула передаточной функции замкнутой системы:

;

где

;

Где S0 = 0.011    S1= 0.295 (при τ = 1).

Определяем аналитическое выражение для расчета вещественной частотной характеристики замкнутой системы :

В  передаточной  функции  замкнутой  системы  заменим  р  на  jw

Где

Подставляя исходные данные получим:

Подставляя в формулу для ВЧХ по каналу управления оптимальные настройки регулятора  S0 = 0.011, S1= 0.295 строим график ВЧХ при наличии запаздывания в канале управления при τ =1.

Для построения переходного процесса воспользуемся методом, который основан на использовании вещественной частотной характеристики замкнутой системы – метод трапеций.

Представим ВЧХ замкнутой системы  в виде непрерывной ломаной линии.

Действуя по алгоритму данного метода, заменяем ломаную линию комбинацией трапеций. Вещественная частотная характеристика системы определяется как сумма ординат всех трапеций:

, где

ri – высота i- номер трапеции.

Переходный процесс в системе находится как сумма переходных процессов для каждой из трапеций:

где  ;