Анализ и синтез одноконтурных систем автоматического управления (САУ), страница 4

Фазо-частотная характеристика

 Для второго динамического звена:

                    

 Построим расширенные частотные характеристики объекта по каналу регулирования  для  m=0.221, τ =1:

График полученной РАЧХ имеет следующий вид, представленный на рис.18.

Рисунок 18 – РАЧХ по каналу управления

Данные для построения РАЧХ приведены в таблице 2.1.

 Таблица 2.1 

ω	0.01	0.2	0.4	0.6	0.8	1.0	1.2	1.4
А(m,ω)	98.8	4.03	1.27	0.617	0.36	0.24	0.18	0.13

Для обеспечения непрерывности фазо-частотной характеристики после  точки  разрыва   1/b1m=0,905, прибавляем период -p.

 при ω < 0,905

 при ω ≥ 0,905

Данные для построения РАЧХ приведены в таблице 2.2.

 Таблица 2.2 

ω	0	0.2	0.4	0.6	0.8	1.0	1.2	1.4
j(m,ω)	-1.79	-2.89	-3.49	-3.86	-4.13	-4.38	-4.61	-4.84

График полученной РФЧХ имеет следующий вид (рис. 19)

Рисунок  19 –  РФЧХ по каналу управления

2.2. Расчет  и  построение  кривой  с  заданной  степенью  колебательности   в  плоскости  настроек   ПИ-регулятора(S0-S1)

Выведем формулу для расчета настроек  ПИ-регулятора – S0 и S1:

Согласно критерию Найквиста, годограф частотной характеристики устойчивой системы управления не должен охватывать точку с координатами

(-1,j0), поэтому можно записать, что

                                                    Wpc(-mw+jw) = -1

Это критическое значение функции. Найдем настройки ПИ-регулятора

где А_об(m,w)  и j_об(m,w) – расширенные амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики.

Приравнивая вещественную и мнимую части выражения отдельно, находим настройки  S0 и S1:

Данные для построения плоскости настроек ПИ-регулятора представлены в таблице 2.3.

Таблица 2.3

S0	0	0.002	0.005	0.009	0.012	0.013		0.008		0
S1	0	0.031	0.064	0.114	0.17	0.213		0.329		0.39
ω	0	0.04	0.08	0.12	0.16	0.2		0.24		0.27

Плоскость настроек ПИ-регулятора при τ = 1 имеет вид, представленный на рис. 20.

Рисунок 20  – Плоскость настроек S0-S1(τ =1)

2.3 Определение оптимальных настроек ПИ-регулятора при τ =1

Оптимальные настройки ПИ-регулятора, обеспечивающие при заданной степени колебательности m минимизацию квадратичной интегральной оценки J₂ переходного процесса в замкнутой системе, определяются, как координаты точки, лежащей на правой ветви кривой S₀-S₁ вблизи её вершины. Найти положение этой точки можно при помощи следующего равенства:

Из графика видно, что w_max соответствует точка с координатами: S₀=0.013  S₁=0.23

Частота w_max=0.17

w_опт=1.3×0.17=0.221

Подставляя найденное значение w_опт=0.221 и m=0.221 находим:

S0_опт = S0(m,w_опт) = 0.011

S1_опт = S1(m,w_опт) = 0.295

2.4  Построение амплитудно-фазовой характеристики  разомкнутой системы определение запасов устойчивости по модулю и по фазе

 Передаточная функция разомкнутой системы

Для построения АФХ разомкнутой системы найдём вещественную и мнимую части:

Построим АФХ разомкнутой системы при τ =1:

По  выведенным  амплитудно-частотной  и  фазо-частотной  характеристикам  и  найденным  настройкам  регулятора  S0  и  S1  получим:

Где: ,

Данные построения АФХ разомкнутой системы представлены в таблице 2.4.

Таблица 2.4. 

Re	-111.43	-5.748	-4.369	-3.519	-2.546	-2.241		-0.977
Im	-22.82	-4.236	-3.414	-2.815	-1.997	-1.705		-0.414
ω	0.01	0.05	0.06	0.07	0.09	0.1		0.2

По приведённым данным строим АФХ разомкнутой системы  (рис. 21).

f

М

Рисунок  21 – АФХ разомкнутой системы при τ =1

      Запас устойчивости по модулю М определяется как расстояние от годографа амплитудно-фазовой характеристики при  Im(Wрс(jw))=0  до точки с координатами  (-1;j0).

М = |-1 - (-0.4)| = 0.6

      Запас устойчивости по фазе определяется как угол между отрицательным направлением оси Re и вектором Wрс(jw) единичной длины:

f  = 21°.1’

3.1 Построение  переходных  процессов при τ = 1

3.1  Построение  переходного  процесса  в  замкнутой  системе  по  каналу  управления.

Общая формула передаточной функции замкнутой системы:

;

где

;

Где S0 = 0.011    S1= 0.295 (при τ = 1).

Определяем аналитическое выражение для расчета вещественной частотной характеристики замкнутой системы :

В  передаточной  функции  замкнутой  системы  заменим  р  на  jw

Где

Подставляя исходные данные получим:

Подставляя в формулу для ВЧХ по каналу управления оптимальные настройки регулятора  S0 = 0.011, S1= 0.295 строим график ВЧХ при наличии запаздывания в канале управления при τ =1.

Для построения переходного процесса воспользуемся методом, который основан на использовании вещественной частотной характеристики замкнутой системы – метод трапеций.

Представим ВЧХ замкнутой системы  в виде непрерывной ломаной линии.

Действуя по алгоритму данного метода, заменяем ломаную линию комбинацией трапеций. Вещественная частотная характеристика системы определяется как сумма ординат всех трапеций:

, где

r_i – высота i- номер трапеции.

Переходный процесс в системе находится как сумма переходных процессов для каждой из трапеций:

где  ;