Производная неявной функции. Производная по направлению и градиент. Экстремум функции нескольких переменных, страница 9

Ряды
числовые		функциональные
Знакопостоянные	Знакопеременные	Степенные (ряды Тейлора и Маклорена)
1) необходимый признак  - ряд расходится  - ?!	1) исследование на абсолютную сходимость по необходимому признаку	Ряды Фурье
2) достаточные признаки (признак Деламбера)	2) если абсолютной сходимости нет, то на условную сходимость по признаку Лейбница	Просто функциональные
3) Радикальный признак Каши
4) интегральный признак Каши   Из сходимости интеграла следует сходимость ряда. Из расходимости интеграла следует расходимость ряда.
5) Признак сравнения   , тогда из сходимости большего ряда следует сходимость меньшего и из расходимости меньшего ряда следует расходимость большего. Если , то ряды ведут себя одинаково.

Ряды Фурье

 - простая гармоника

 - пространство непрерывных на  функций

 - действительное пространство

 - в комплексном случае

Определение: Функции  и  называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Системы функций

(1)

имеют общий период

Теорема: Тригонометрические функции системы (1) попарно ортогональны на любом отрезке длиной Т .

Доказательство: 

 

1)

2)

3)

4)

……………………

5)

……………………

Пусть  - периодическая с периодом Т функция

 (1)

Пусть ряд (1) сходится

Умножим обе части равенства (1) на  и проинтегрируем на

Умножим обе части равенства (1) на  и проинтегрируем:

Определение: числа  - называются коэффициента Фурье, а ряд (1) – рядом Фурье функции .

Теорема: Пусть переодическая с периодом Т функция  определена на всей числовой оси, кусочно монотонна и ограничена, тогда ее ряд Фурье сходится для любого t, причем в точке непрерывности сумма ряда , а в точке разрыва .

Частный случай: пусть , тогда

Замечание: в формулах для  вместо промежутка интегрирования  можно поставить любой промежуток от  до .

 

Ряды Фурье четных и нечетных функций

1) Предположим, что  - четная, т.е.   .

2)  - нечетная

Замечание: Четная функция раскладывается в ряд Фурье по косинусу, а нечетная по синусу.

Ряды Фурье для функций заданных на полупериоде

Вместо функции f(t) рассматривают функцию F(t)

F(t) можно разложить в ряд Фурье на отрезке [-l,l], т.к.  на отрезке

1)  Нечетным образом, следовательно раскладывается на ряд Фурье по синусу.

2)  Или четным образом, следовательно раскладывается на ряд Фурье по косинусу.

3)  Любым другим способом.

Гармоники

 - гармонические колебания

S – отклонение точки от положения равновесия

А – амплитуда колебаний

 - частота

 - начальная фаза

где ,

Совокупность чисел  называется амплитудным спектром сигнала,  - частотным спектром.

Комплексная форма ряда Фурье

Если функция  действительная, то числа  и  действительные и .

n-ная частичная сумма ряда , записывается в виде .

Ряд сходится для данного значения t, если существует предел .

Введенная таким образом сходимость называется сходимостью в смысле главного значения.

Если  - четная, то =0, , т.е. число  - чисто действительное число.

Если  - нечетная, то  и равны нулю, , т.е. - чисто мнимое число.

Если  функция общего вида, то в есть и действительная и мнимая часть.

Комплексные функции ,  образуют ортогональную систему функций на отрезке [-l,l], т.к.

Последовательность , называется комплексным спектром функции.

Интеграл Фурье

1) , следовательно  она раскладывается в ряд Фурье обычно (или комплексно)

2)  задана на отрезке [-l,l]

3)  задана на всей числовой прямой и не периодическая

Пусть функция  определена  на всей числовой оси, кусочномонотонна, ограничена и абсолютно интегрируема .

Устремим период

Выражение