Математика \ Математика

Производная неявной функции. Производная по направлению и градиент. Экстремум функции нескольких переменных, страница 3

Интеграл берется выделением полного квадрата и в зависимости от знака «а» сведением к табличным интегралам (12), (13), (14).

Пример:

IV.

Интегрирование дробей.

1) Интегрирование простых дробей.

Определение: Простыми дробями I – IV типов называется дроби вида:

II.

III. ,

IV.

Интегрирование рациональных дробей.

Теорема 1: Если знаменатель правильной рациональной не сократимой дроби имеет действительный корень , т.е. , причем , то дробь представима в виде суммы двух правильных дробей . и степень меньше степени знаменатель второго слагаемого.

Доказательство:

Подберем А так, чтобы число было корнем второй дроби.

Замечание: Поскольку второе слагаемое также правильная рациональная не сократимая дробь, то его можно разложить с использованием этой теоремы:

Процесс выделения простой дроби продолжается до тех пор пока знаменатель не будет равным .

Замечание: Если знаменатель правильной рациональной не сократимой дроби имеет вид , то дробь представима в виде:

Пример:

Теорема 2: Если знаменатель правильной рациональной не сократимой дроби , где имеет комплексно сопряженные корни кратности , и , то эту дробь можно представить в виде суммы двух правильных дробей

, где - константы не равные нулю одновременно, - многочлен.

Так как второе слагаемое также является правильной рациональной не сократимой дробью, то из второй дроби можно выделить еще одну простейшую и т.д. , до тех пор пока не останется дробь .

Вывод: Любая рациональная правильная не сократимая дробь может быть представлена виде суммы простейших дробей I-IV типа с помощью теорем 1 и 2.

Пример:

Для вычисления коэффициента необходимо:

I. Сравнение коэффициентов при одинаковых степенях.

1) Привести дроби в правой части разложения к общему знаменателю и записать в числитель получившийся многочлен с неизвестными коэффициентами.

- многочлен с неизвестными коэффициентами.

2) Так как знаменатели дробей одинаковы, то одинаковыми должны быть и числители. (*)

3) Многочлены равны когда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях, т.е.

можно показать, что такая система всегда имеет единственное решение.

4) Решив систему находят числовые значения неизвестных коэффициентов и подставляют полученные числа в разложение.

II. Метод частных значений.

- многочлен с неизвестными коэффициентами.

2) Так как знаменатели дробей одинаковы, то одинаковыми должны быть и числители. (*)

3) Если (*) выполняется, то значение многочленов и при одинаковых числовых значениях должны быть равными, поэтому взяв вместо разные числа и подставить их в (*) можно также получить уравнения для неизвестных коэффициентов.

Вместо берут значения совпадающие с действительными корнями знаменателя.

III. Комбинированный метод.

Чаще используется комбинированный метод, когда часть уравнений получается приравниванием коэффициентов остальные методом частичных значений.

Пример:

Метод частичных значений предпочтительнее в случае, когда корни знаменателя действительные и простые, при этом скобки в многочлене с неизвестными коэффициентами раскрывать ненужно.

Алгоритм интегрирования рациональных дробей.

1) Представить неправильную дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби.

2) Найти корни знаменателя и разложить его на множители.

3) Разложить правильную дробь на простейшие и найти неизвестные коэффициенты.

4) Проинтегрировать простые дроби.

Пример: