Математика \ Математика

Производная неявной функции. Производная по направлению и градиент. Экстремум функции нескольких переменных, страница 6

Пусть кривая задана в параметрической форме

Пусть уравнения (1) определяют некоторую кривую y=f(x) на отрезке [a,b]. Тогда площадь можно вычислить по формуле

Пример:

3) Площадь фигуры заданной в полярных координатах.

Пусть есть полярная система координат. Кривая задана уравнением , где - непрерывная функция при .

Найти площадь сектора AOB, ограниченного кривой и лучами и .

Разобьем площадь радиус-векторами .

- длина радиус-вектора соответствующего углу , тогда площадь сектора с радиусом и углом вычисляется по формуле:

Сложив элементарные площади получим .

Последнее равенство есть интегральная сумма для функции на отрезке , .

Пример: Найти площадь фигуры ограниченной вторым витком спирали Архимеда ()

4) Длина дуги кривой в декартовой системе координат.

Задана кривая y=f(x). Найти длину дуги кривой заключенной между вертикальными прямыми х=а, х=b.

Возьмем на дуге точки А, М₁, М₂, …,М_i, В с абсциссами а, х₁, х₂, …, х_i, b и проведем хорды АМ₁, М₁М₂, …, длины которых соответственно … .

Хорда вписана в хорду АВ.

Докажем, что если на отрезке [a,b] функции y=f(x) и y=f`(x) непрерывны, то этот предел существует, пусть

По теореме Пифагора:

По теореме Лагранжа:

Так как функция f `(x) непрерывна, то функция тоже непрерывна и существует , который равен - длина линий в декартовых координатах.

Пример: Вычислить длину окружности .

следовательно

5) Длина линии, если кривая задана параметрически.

, где и непрерывные на функции.

и , также непрерывны на и , тогда система (1) определяет кривую y=f(x), где f(x) непрерывна, f `(x) непрерывна и .

Пусть , тогда в формуле сделаем замену.

Замечание: Если кривая задана пространственными координатами , то длина дуги считается по формуле

Пример: Вычислить длину астроиды

6) Длина дуги в полярной системе координат.

Пусть и меняется

х, у – декартовы

и - полярные.

7) Вычисление объема тела по площади параллельного сечения.

Известно тело Т и известны площадь любого сечения плоскостью, перпендикулярной оси Ох.

Пусть Q(x) есть непрерывная функция по х. Определить объем данного тела.

Проведем плоскости , где .

Эти плоскости разобьют тело на слои. В каждом промежутке выбирают точку и на каждом промежутке строят цилиндрическое тело образующая которого параллельна оси Ох, а направляющая есть контур сечения тела Т плоскостью .

Физические приложения определенного интеграла.

1) Пусть под действием силы F материальная точка движется по прямой OS и направление силы совпадает с направлением движения. Тогда работа производимая силой F при перемещении материальной точки из положения а в положение b, считается по формуле .

Пример: Какую работу надо затратить чтобы растянуть пружину на 7 см, если сила в 1 Н растягивает пружину на 1 см.

2) Вычисление пути.

Пусть точка движется по некоторой линии и - ее скорость.

Пример:

t = 10 с

3) Координаты центра тяжести:

а) кривой АВ, заданной уравнением y=f(x), , если линейная плотность кривой постоянна, считаются по формуле

б) фигуры ограниченной прямыми

при условии что плотность фигуры постоянна считается по формуле

РЯДЫ

Числовые ряды.

Определение: Выражение вида называют числовым рядом.

Определение: числа называют членами ряда.

Определение: Сумма n первых членов ряда называется частичной суммой ряда и обозначается .

Если существует конечный предел , то ряд называется сходящимся рядом, а число S – суммой ряда. Если же конечного ряда не существует, то ряд называется расходящимся.