Математика \ Математика

Производная неявной функции. Производная по направлению и градиент. Экстремум функции нескольких переменных, страница 4

Подстановка:

Пример:

3) Подынтегральная функция четна по синусу.

4) Подынтегральная функция нечетна по косинусу.

Пример:

Интеграл вида считается понижением степени по формулам:

Пример:

Преобразовывают подынтегральное выражение по следующим формулам:

Пример:

Интегрирование иррациональностей с помощью тригонометрической подстановки.

Замена , .

Пример:

Интегрирование алгебраических иррациональностей.

Пример:

Интегрирование иррациональностей.

r – НОК ()

Определенный интеграл.

Найти площадь криволинейной трапеции ограниченной осью Ох, прямыми х=а, х=b, y=f(x), f(x) [a,b]

Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b]. Разобьем отрезок точками деления

На каждом участке выберем точку и составим сумму, называемую интегральной суммой. Если при любых разбиениях отрезка [a,b] и при любом выборе точек интегральная сумма стремится к одному и тому же пределу суммы, то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b] и обозначается .

Число а называют нижним пределом интеграла, число b – верхним, отрезок [a,b] – отрезком интегрирования, х – переменной интеграла.

Если для функции f(x) существует предел интегральной суммы, то функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a,b].

Теорема: Если функции f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема на нем.

Замечание 1: При введении понятия определенного интеграла предполагалось, что a<b. В случае если b<a, то по определению полагали .

Заечание 2: Если a=b, то все , следовательно .

Свойства определенного интеграла.

1) Константу можно выносить за знак определенного интеграла.

Доказательство:

2) Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых.

Доказательство:

3) Если на отрезке [a,b], где a<b,функции f(x) и таковы, что f(x)< , то .

Доказательство: Рассмотрим

, так как .

4) Если m и M наименьшее и наибольшее значение функции f(x) на отрезке [a,b], и , то

Доказательство: ,

5) Теорема о среднем.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то существует такая точка С на этом отрезке, такая что .

Доказательство: Пусть a<b, тогда из свойства (4),

Так как функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она принимает на этом отрезке любые значения заключенные между наименьшим m и наибольшим M значениями. Следовательно

6) Для любых трех чисел a,b,c справедливо равенство , если только эти интегралы существуют.

Доказательство:

1. a<c<b.

Составим интегральную сумму для функции f(x) на отрезке [a,b], так как предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения отрезка [a,b], на части, то разбивают отрезок [a,b] на малые отрезки так, чтобы С – была точкой деления, следовательно интегральная сумма составленная по отрезку [a,b], разбивается на 2 суммы, составленные по отрезку [a,с] и отрезку [c,b].

Переходя в последнем равенстве к пределу при и получаем доказываемое равенство.

2. , тогда , следовательно

, следовательно

Формула Ньютона-Лейбница.

Рассмотрим интеграл , в котором нижний предел а – закреплен, а b – меняется, то интеграл функцией своего верхнего предела .

Теорема 1: Если f(x) непрерывная функция и , то имеет место равенство .

Доказательство: , дадим аргументу приращение .

Теорема 2: Если F(x) есть какая-либо первообразная от f(x), то имеет место формула Ньютона-Лейбница .

Доказательство: Пусть F(x) – первообразная. По теореме 1, - первообразная, а две первообразные отличаются . Так как последнее равенство справедливо при любых х, то оно справедливо при любых х=а и х=b.