Производная неявной функции. Производная по направлению и градиент. Экстремум функции нескольких переменных, страница 13

Определение: Уравнение (2) назвается характеристическим уравнением по отношению к уравнению (1).

1)     и  - действительные и различные

2)      и  -  комплексно сопряженные

3)      и  - действительные равные

1)

Пример:

2)

 

 и  - комплексные функции действительного аргумента х.

 , где и  - функции действительного аргумента

Покажем, что если какая-либо функция действительного аргумента у, удовлетворяет уравнению (1), то функции  и  также будут удовлетворять уравнению (1).

Их отношение не равно константе, следовательно  и  линейно независимы и тогда по теореме 6:

Пример:

№1.

№2.

3)

Пример:

Общее решение ЛОДУ n-ного порядка с постоянными коэффициентами

        (1)

1) составляют характеристическое уравнение

2) находим корни характеристического уравнения а) корни характеристического уравнения (ху) действительные и различные.

б) Корни х и у действительные и среди них есть кратные.

Каждому корню  соответствует кратность ,тогда частные решения  из которых составляется , есть функции

корни ху комплексно сопряженные.

в)

г) корни ху кратные и комплексно сопряженные . каждому корню , соответствует кратность , тогда

Пример:

ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

            (1)

Теорема: общее решение ЛНДУ с постоянными коэффициентами есть сумма общего решения соответствующего однородного и частного решения неоднородного уравнения     (2)

Доказательство:  Покажем, что функция (2) есть решение уравнения (1)

Равенство верно, формула (2) действительно верна.

2) Покажем, что

Можно так подобрать значения постоянных, чтобы условия выполнялись

Система  имеет единственное решение, если .

W составляется из линейно независимых решений  и .

По теореме 5 этот определитель не равен нулю, следовательно каковы бы ни были начальные условия соответствующие значения постоянных  и  всегда можно найти.

ЛНДУ второго порядка со специальной правой частью

I.

1) а – не корень ху , следовательно тогда справа многочлен n-ной степени и слева тоже. Степени многочленов совпадают, следовательно

2) а – простой корень ху -

Слева многочлен степени n-1, а справа многочлен степени n, такого быть не может, следовательно

3) а – кратный корень ху - ,  следовательно

 следовательно

Коэффициент многочлена  находится по схеме: ищут  и , подставлябт производные и  в исходное уравнение и приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях х.

Пример:

2 – не корень ху, следовательно домножать на х не надо

Пример 2:

1 – кратный корень ху, следовательно

…………………………………………………

Пример 3:

т.к. 4 – совпадает с одним из корней, следовательно домножаем на х.

Пример 4:

…………………………………

II.

1)  - не корень

 и  - многочлены степени р с неизвестными коэффициентами

2)

Пример:

 - не корень

Теорема: Пусть правая часть  представлена в виде суммы двух функций , тогда  есть сумма -ных следующих уравнений

Пример:

 - не корень ху.

Для нахождения решений задачи Коши необходимо:

1) составить ху и найти его корни

2) по корням составить

3) по виду правой части выписать

4) выписать  как сумму

5) подставить заданное начальное условие найти значение коэффициентов  и

Гармонические колебания

Свободные гармонические колебания описываются уравнением , а вынужденные гармонические колебания уравнением ,  - частота собственных колебаний системы,  - частота вынужденных колебаний.

А) пусть  следовательно  - не корень ху.

Решение ограничено при .

Б) Пусть  - корень ху.

Решение неограниченно возрастает при .

Метод вариации произвольных постоянных

чтобы подобрать  считаем  и  не постоянными, а функциями

Пусть

Система имеет единственное решение т.к. ее определителем является определитель W, а он отличен от нуля на решенных  и  однородного уравнения.

Функции  и  получаются интегрированием решений системы и при интеграле постоянные не пишутся.

Пример: