Производная неявной функции. Производная по направлению и градиент. Экстремум функции нескольких переменных, страница 12

Принцип решения:

, тогда подставим

Замена: или

замена, сводящая однородное уравнение к линейному..

Пример:

Линейное ДУ первого порядка

Определение: Линейным называется уравнение линейное относительно неизвестной функции и ее производной, т.е. уравнение вида , где и заданные непрерывные функции.

Решение линейного уравнения ищут в виде

будем выбирать так, чтобы

Пример:

Уравнение Бернулли

Уравнение вида , называют уравнением Бернулли, и заданные непрерывные функции.

Пример: решить уравнение

ДУ высших порядков

ДУ n-ного порядка символически записываетсяв виде или если оно разрешено относительно n-ной производной, то (1).

Теорема: Если функция и ее частные производные по аргументам непрерывны в некоторой области содержащей значение

то существует единственное решение уравнения (1), удовлетворяющее условию

Эти условия называются начальными условиями.

- ДУ второго порядка.

- заданные числа

Определение: общим решением уравнения n-ного порядка, называется функция, зависящая от n произвольных постоянных, если

1) она удовлетворяет уравнению при любых значениях постоянных

2) при заданных начальных условиях

постоянные , можно подобрать так чтобы функция , удовлетворяла этим начальным условиям.

Определение: соотношение вида неявно определенное общее решение называется общим интегралом ДУ.

Всякое решение получающееся из общего при конкретных значениях постоянной, называется частным решением.

Уравнения допускающие понижение порядка

I. - уравнения не содержащие явным образом у.

Пусть найдено общее решение этого уравнения:

II. Уравнение вида - называется уравнениями не содержащими явным образом независимой переменной х.

Получим ДУ первого порядка относительно р.

Пусть

Пример:

ЛОДУ

Определение: ДУ n-ного порядка называется линейным, если оно является уравнением первой степени относительно искомой функции у и ее производноой , т.е. имеет вид

(1)

Функция называется правой частью уравнения (1).

Если , то уравнение (1) называется ЛДУ с постоянными коэффициентами.

Если , то уравнение (1) называется ЛОДУ.

Теорема 1: Если и - два частных решения ЛОДУ, то - есть также решение этого уравнения.

Доказательство:

Теорема 2: Если - решение ЛОДУ и С – некоторая постоянная, то Су, таже решение ЛОДУ.

Определение: Два решения ЛОДУ - и , называются линейно независимыми на отрезке , если их отношение на этом отрезке не является постоянной, т.е. .

Определение: Два решения ЛОДУ - и , называются линейно зависимыми на отрезке , если .

Определитель: - называется определителем Вронского или вронскинианом.

Теорема 3: Если функции и , линейно независимы на отрезке АВ, то определитель

Доказательство:

Теорема 4: Если определитель Вронского , составленный для решения и ЛОДУ не равен 0, при каком-либо значении и коэффициенты уравнения непрерывны, то он не обращается в нуль не при каких значениях на .

Теорема 5: Если решения и ЛОДУ линейно независимы на отрезке , то определитель составленный для этих решений ни обращается в нуль, не а какой точке .

Теорема 6: Если и , два линейно независимых решения уравнения , то , где и - произвольные постоянные, есть его общее решение.

Доказательство: Из теоремы 1 и теоремы 2 следует, что есть решение при любых значениях и , осталось показать, что каковы бы ни были начальные условия

можно так подобрать значения и , чтобы соответствующее частное решение удовлетворяла заданным начальным условиям

- решение одно

Т.к. функции и линейно независимы, то по теореме 5 в любой точке, следовательно система имеет единственное решение и , чтобы частное решение удовлетворяло начальным условиям