Математика \ Математика

Производная неявной функции. Производная по направлению и градиент. Экстремум функции нескольких переменных, страница 2

Число называется корнем многочлена , если

Теорема 1: При делении многочлена на получается остаток , который в точке равен .

Доказательство:

Следствие: Если число b, является корнем многочлена , то многочлен делится на без остатка.

b- корень/

Теорема 2: Всякий многочлен имеет хотя бы один корень – действительный или комплексный.

Следствие: Каждый многочлен можно разложить на множители по формуле: .

1) Пусть среди действительных корней есть кратные, тогда .

кратно

……………

кратно

2) Пусть у многочлена пара корней комплексносопряженные, т.е .

3) Среди комплексно сопряженных корней есть кратные .

Пример: разложить на множители

Замечание: Оставляют в разложении только те квадратные трехчлены, у которых нет действительных корней.

Неопределенный интеграл.

Х – пространство дифференцируемых функций

Определение 1: Функция называется первообразной от функции на отрезке , если во всех точках этого отрезка выполнятся равенство .

Пример:

- первообразная для .

Теорема 1 (Первообразная не единственна): Если и две первообразные функции на отрезке , то разность между ними равна константе.

Доказательство:

следовательно - константа.

Следовательно, если для функции известна какая-либо первообразная, то любая другая первообразная задается формулой .

Определение: Если функция является первообразной для функции , то она называется неопределенным интегралом от и обозначается .

, где

Функция - называется подынтегральной функцией, а выражение - подынтегральным выражением.

Определение (2): Неопределенный интеграл есть функция семейства вида , где или совокупность первообразных.

Первообразная существует не для всякой функции, но если функция непрерывна на отрезке , то для этой функции первообразная существует.

Нахождение первообразной для функции , называется интегрированием функции . Если производная от элементарной функции всегда есть элементарная функция, то первообразная от элементарной функции может оказаться не элементарной функцией.

Из определения (2) следуют свойства:

1) Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

2) Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.

3) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен самой этой функции плюс произвольная постоянная.

Таблица интегралов.

10)

Доказательство:

11)

12)

13)

14)

Некоторые свойства неопределенного интеграла.

Теорема 1: Неопределенный интеграл от суммы двух или нескольких функций равен сумме их интегралов.

Доказательство:

Теорема 2:Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.

Доказательство:

Теорема 3: Если , то .

Доказательство:

Пример:

Теорема 4: Если , то .

Доказательство:

Пример:

Теорема 5: Если , то .

Пример:

Теорема 6: Любая формула таблицы интегралов сохраняет свой вид, если вместо переменной в левую и правую части поставить , где - дифференцируемая функция.

Пример:

Интегрирование методом замены переменных или методом подстановки.

Теорема: Пусть где - непрерывная функция с непрерывной производной имеющей обратную функцию, тогда .

Доказательство:

Пример:

Замечание:

Пример:

Интегрирование по частям.

Пусть подынтегральная функция представима в виде , где и - дифференцируемые функции, тогда

- формула интегрирования по частям.

Пример:

Если после первого применения формулы интегрирования по частям функция упростилась, но еще не получается табличного интеграла, то формулу применяют еще раз.