Функциональное решение линейных дифференциальных уравнений и их систем (задача Коши) методом прямого и обратного преобразования Лапласа

9. Функциональное решение линейных дифференциальных уравнений и их систем (задача Коши) методом                               прямого и обратного преобразования Лапласа

Ключевые термины раздела 9.

Обратное преобразование лапласа (функции комплексной переменной s) – интегральное преобразование (L^–1-преобразоваие), ставящее в соответствие функции Х(s) комплексной переменной s (называемой L-изображением) функцию x(t) времени t (называемую оригиналом L-изображения), при котором операциям умножения и деления на s соответствуют операции дифференцирования и интегрирования при нулевых начальных условиях. В  Mathcad это преобразование производится кнопкой invlaplace на панельке Symbolic.

прямое преобразование лапласа функции времени t – интегральное преобразование (L-преобразование), ставящее в соответствие функции x(t) времени t функцию X(s) комплексной переменной s (называемой изображением по Лапласу, L-изображением). При этом преобразовании операции дифференцирования   и интегрирования      во времени заменяются при нулевых начальных условиях на операции соответственно умножения и деления на s L-изображения: s×X(s) и X(s)/s. В  Mathcad это преобразование производится кнопкой laplace на панельке Symbolic.

функциональное решение дифуравнения – решение в виде функции независимой переменной (например, времени t), полученное средствами пакета Mathcad.

9.1.  Функциональное решение одного                                                  линейного дифференциального уравнения

Для получения функционального решения используются прямое и обратное преобразования Лапласа, операторы которых реализованы в пакете Mathcad и вызываются из панельки Symbolic кнопками <laplace> и <invlaplace>.

Методика функционального решения состоит в следующем. Дифуравнение посредством прямого преобразования Лапласа (L-преобразования) переводится в алгебраическое уравнение в пространстве L-изображений, в котором известные постоянные и функции времени правой части заменяются их L-изображениями, а левая часть уравнения (сумма производных разного порядка от искомой функции, например, х(t)) заменяется суммой произведений  переменной Лапласа s в  степени, равной порядку преобразуемой производной, на неизвестное L-изображения искомой функции плюс многочлен начальных условий, степень которого на единицу меньше порядка старшей производной дифуравнения. Изображение искомой функции х(t) выдается  Mathcad как laplace(x(t),t,s). Из полученного алгебраического уравнения находится L-изображение laplace(x(t),t,s) в виде некоторого выражения от переменной s. Обращаясь в этом выражении к обратному преобразованию Лапласа (L^–1-преобразованию), заставляют  Mathcad выдать функцию времени, являющуюся оригиналом выражения и одновременно – искомой функцией х(t).