Теория функций комплексного переменного. Поле комплексных чисел, страница 7

13  Многозначные функции

Примерами многозначных функций являются аргумент  Arg z и  .  Ветвью многозначной функции   в области D назовем такую непрерывную однозначную функцию , что  для любого .  Для некоторых областей D⊆ ℂ  можно выделить ветвь многозначной функции с соблюдением непрерывности или аналитичности, а для других нет. Так например, для области  и функции  нельзя выделить ветвь, а для области

0                                             1

                                                                                       -1

Рис. Выделение ветви функции Arg z

можно: пусть ψ (z)=arg z+2πk_z, где  k_z -- целое число, которое указано на рисунке в той части области D, в которой лежит комплексное число z. Если z лежит на границе, то берется любое из двух возможных целых чисел. Построенная таким образом ветвь будет непрерывной функцией. Теперь можно построить и аналитическую ветвь многозначной функции и    в той же области D --  . Заметим, что для кольца 0<|z| <R такое построение, с соблюдением аналитичности, невозможно.

Определим

Ln z={ w∈ ℂ  | e^w=z} .

Если z=x -- положительное действительное число, то в силу монотонности действительной функции e^y,  существует только одно действительное число в множестве Ln x. Оно есть не что иное как  натуральный логарифм числа x   (обозначается ln x).

Предложение. Пусть   -- показательная форма записи. Тогда

Пример. Вычислим:

Ln(-1)={ πi(1+2k)} ,           Ln i={πi/2 +2πk i }      (k∈ ℤ ).

Свойства комплексного логарифма таковы.

Л1. Область допустимых значений логарифма -- все ненулевые комплексные числа. Если z=re^i𝜑  , где r=|z|  и 𝜑 ∈ Arg z, то Ln z={ln r+i(𝜑 +2π  k) | k∈ ℤ } .

Л2 [производная логарифма]  (Ln z)'= 1 / z . (Имеется в виду производная от любой ветви логарифма)

Доказательство.  Дифференцируем левую и правую часть соотношения e^w=z, считая w функцией от z. Получаем: e^w⋅  w'_z=1, откуда w'_z= 1/e^w =1/z .

Следующее свойство вытекает из основного функционального соотношения для экспоненты.

Л3.  Для любых ненулевых комплексных чисел z₁, z₂ и z выполняются равенства:

Ln(z₁⋅  z₂)=Ln z₁+Ln z₂;     Ln z^k=k Ln z     (k∈ ℤ ).

С помощью комплексного логарифма можно  определить степень любого ненулевого комплексного числа с любым комплексным показателем:

Пример  iⁱ={e^{-π /2-2πk}  | k∈ ℤ } .

Л4.   Для всех ненулевых комплексных чисел имеет место равенство:

Определим теперь обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции:

Arcsin z={ w∈ ℂ  | sin w=z} ;  Arccos z={ w∈ ℂ  | cos w=z} ;

Arcsh z={ w∈ ℂ  | sh w=z} ;   Arcch z={ w∈ ℂ  | ch w=z };

Arctg z={ w∈ ℂ  | tg w=z} ;   Arcth z={ w∈ ℂ  | th w=z} .

Используя комплексный логарифм, установим  формулы для вычислений этих многозначных функций. Начнем с решения уравнения ch w=z относительно w. Заменяя ζ =e^w, сводим это уравнение к квадратному ζ²-2zζ +1=0, решения которого суть: ζ=z+√(z²-1) . Получаем окончательно:

.

Аналогично: 

Arccos z=-i Ln(z+√(z²-1));  Arcsh z=Ln(z+√(z²+1) );    Arcsin z=- i Ln(iz+√(1-z²));

Пример  Вычислим:  ;  .

14  Интегрирование функции комплексного  переменного

14.1  Кривые на комплексной плоскости

Путем  или  кривой  L на комплексной плоскости называется  отображение z=z(t)=x(t)+iy(t) отрезка действительной прямой  [a ,b ] в комплексную плоскость ℂ. Точка z(a ) называется   началом пути  L, а точка z(b ) --  его конец. Путь L называется  замкнутым, если начало совпадает с концом. Образ отображения z(t), т. е. множество {z(t) ∣  t∈ [a ,b ]}  называется  носителем кривой L. Кривая  L называется  непрерывной, если функции x(t) и  y(t), а тем самым и функция z(t) непрерывны. Путь L называется  гладким, если существует непрерывная и отличная от нуля производная z'(t)=x'(t)+y'(t)i в любой точке t∈ [a ,b ]; для замкнутого пути дополнительно требуется, что бы односторонние производные z'(a ) и z'(b ) совпадали. Путь L называется  кусочно гладким, если  существует разбиение a =a₀<a₁<a₂<...<a_n=b  отрезка [a, b ] такое, что на каждом отрезке [a_i-1, a_i] путь L гладок.