Теорема. Если значения аналитических в открытой области G функций f_1(z) и f_2(z) совпадают на некоторой бесконечной последовательности точек z_1,z_2,z_3,..., сходящейся к точке a∈ G, то эти функции тождественно равны во всей этой области.
Доказательство. Заметим сначала, что если аналитическая
функция f(z) не равна тождественно нулю в окрестности точки a, то найдется
ненулевой коэффициент ряда Тейлора этой функции. Записывая такую функцию в виде
, где g(a)≠ 0, видим, что в достаточно
малой окрестности точки a функция f(z) других нулей, кроме a не имеет. Отсюда
получаем, что разность f_1(z)-f_2(z) тождественно равна 0 в некоторой
окрестности точки a. В свою очередь, это дает, что данная разность равна 0 в
круге наибольшего радиуса с центром в точке a, вмещающегося в область G.
Далее, взяв произвольную точку z^*∈ G и соединив точки a и z^* кусочно-гладкой непрерывной кривой, можно покрыть эту кривую конечной системой кругов, так что центр последующего лежит на границе предыдущего и центр первого -- точка a, центр последнего -- точка z^*. Последовательно продвигаясь от первого до последнего круга, доказываем, что разность f_1(z)-f_2(z) равна тождественно 0 в этих кругах, а значит и в точке z^*. Отсюда следует, что функция f_1(z) тождественно совпадает с функцией f_2(z). □
Предположим, что в некоторой области G задана функция f(z). Если g(z) -- аналитическая функция в области D, содержащей G, совпадающая с функцией f(z) на G, то она называется аналитическим продолжением функции f(z). Из доказанной выше теоремы следует, что аналитическое продолжение единственно. Например, g(z)= 1 / 1-z является аналитическим продолжением функции f(z)=∑ _0^∞ z^n, заданной лишь при условии |z|<1.
Пример Функция sin 1/ z аналитична в области ℂ* и не равна тождественно 0, хотя обращается в ноль в точках 1/πk и эта последовательность стремиться к 0 при k→+∞ . Это, конечно, не противоречит теореме, так как предельная точка -- ноль, не принадлежит области аналитичности функции sin 1/ z .
Пусть функция f(z) аналитична в кольце r<|z-a| < R. Обозначим через c_ρ окружность радиуса ρ с центром в точке a. Тогда в силу интегральной формулы Коши для любой точки z из кольца r<|z-a| < R имеет место равенство:
f(z)=1/2πi ò_ c_ R' f(ζ )dζ / ζ -z -1/2πi ò_ c_ r' f(ζ )dζ / ζ -z , где числа r' и R' выбираем так, что r<r'<|z-a| <R'<R. Преобразуем первый интеграл:
1/ ζ-z =1/[(ζ -a)-(z-a)]=1 / (ζ -a)(1-(z-a)/(ζ-a))=1+z-a / ζ-a + (z-a)^2/(ζ -a)^2 +...+(z-a)^n/(ζ-a)^n +...
Почленное интегрирование дает правильную часть ряда Лорана :
c_0+c_1(z-a)+c_2(z-a)^2+...+c_n(z-a)^n+… , где
c_n= 1/ 2πi ò _ c_ρ f(z) dz / (z-a)^ n+1 =f^ (n) (a) n!/ (z-a)^n
и r<ρ <R. Преобразуем второй интеграл:
1/ζ -z = 1/(ζ -a)-(z-a) =1/(z-a)(1-(ζ-a)/(z-a)) =- 1/z-a [1+ζ-a/z-a +(ζ-a)^2/(z-a)^2 +...+(ζ-a)^n/(z-a)^n +...]
Почленное интегрирование дает главную часть ряда Лорана :
c_ -1/ z-a + c_ -2 / (z-a)^2 + c_ -3/ (z-a)^3 +...+ c_ -n / (z-a)^n +..., где
c_ -n =1/ 2πi ò_ c_ρ f(z)(z-a)^ n-1 dz, и r<ρ <R. Складывая главную и правильную части ряда Лорана, получаем представление функции f(z), аналитической в кольце r<|z-a| <R в виде суммы ряда Лорана
f(z)=… + c_ -n / (z-a)^n +… +c_ -3/(z-a)^3 + c_ -2/(z-a)^2 +c_ -1/ z-a +c_0+c_1(z-a)+c_2(z-a)^2+...+c_n(z-a)^n+… =∑ _ -∞ ^ +∞ c_m(z-a)^m, где
c_m=1/2πi ò_ c_ρ f(z) dz/ (z-a)^ m+1 (r<ρ <R)
при любом целом m.
Пример. Рассмотрим различные разложения в ряд Лорана функции f(z)=1/ (z-1)(z-2) , выбрав a=0. Предварительно заметим, что f(z)= 1/ z-2 – 1/ z-1 .
Случай 1 -- разложение в круге | z| <1 . Тогда
- 1/ z-1 =1/ 1-z =1+z+z^2+… , 1/z-2 =-1/2 ⋅ 1/ 1-z/2 =-1/2 - z /2^2 - z^2/2^3 -…
Складывая, получаем:
1/ (z-1)(z-2) =1 / 2 +(1-1/ 2^2 )z+(1- 1/ 2^3 )z^2+…
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.