4. Случай: главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число слагаемых.
В этом случае a называется существенной особой точкой .
Теорема Ю.В. Сохоцкого. Если a -- существенная особая точка функции f(z), то для любого A∈ ℂ или A=∞ найдется последовательность z_n→ a такая, что f(z_n)→ A.
Доказательство. Пусть сначала A=∞ . Согласно теореме п.2 функция f(z) не может быть ограниченной в точке a. Следовательно, требуемая последовательность существует. Пусть теперь A∈ ℂ . Рассмотрим функцию g(z)=1/ f(z)-A . Если a устранима или является полюсом для g(z), то такова же она будет и для f(z). Следовательно, a -- существенная особенность функции g(z). Пусть последовательность z_n→ a такова, что g(z_n)→ ∞ . Тогда f(z_n)→ A .
Пример Точка 0 -- существенная особенность функции e^1/ z , так как разложение в ряд Лорана для этой функции в области ℂ * имеет вид 1+1/ z +1/z^22! +1/z^33! +… Для последовательности z_n=1/n имеем: lim e^1/z_n =∞ а для последовательности z̃_n=1 /2πni , также сходящейся к 0, имеем: lim exp 1/ z̃_n =0.
Пусть в проколотой окрестности точки a функция f(z) аналитична. Тогда величину
Res[f(z),a]=1/2πi ∮_ |z-a|=ρ f(z) dz, где ρ -- достаточно малое положительное число, будем называть вычетом функции f(z) в точке a . Вычетом функции относительно бесконечно удаленной точки считаем величину
1/2π i ∮_ C^- f(z) dz, где C -- окружность с центром в начале координат такая, что вне круга, определяемого этой окружностью, функция f(z) особенностей не имеет.
Первичные следствия этого определения следующие:
а) вычет не зависит от величины ρ ;
б) вычет совпадает с коэффициентом c_ -1 ряда Лорана функции f(z) в кольце 0<|z-a| <ρ (см. формулу ( 4loran ));
в) если f(z) аналитична в точке a или a -- устранимая особенность, то вычет в ней равен 0.
Предложение. Пусть a -- полюс порядка m функции f(z). Тогда
Res[f(z),a]=1/(m-1)! ⋅ lim_ z→ a d^ m-1 [(z-a)^mf(z)]/ dz^ m-1
Доказательство. Если a -- полюс порядка m, то f(z)=c_ -m / (z-a)^m +… + c_ -1/ z-a +g(z), где g(z) -- правильная часть, т. е. аналитическая функция в точке a. Тогда
(z-a)^mf(z)=c_ -m +… +c_ -1 (z-a)^ m-1 +(z-a)^mg(z). Дифференцируя это соотношение m-1 раз, получим:
d^ m-1 dz^ m-1 [(z-a)^mf(z)]=(m-1)!c_ -1 +h(z), где h(a)=0. Переходя к пределу и разделив на (m-1)!, получим требуемую формулу.□
Отметим частный случай, когда a -- простой полюс. Тогда
Res[f(z),a]=lim_ z→a (z-a)f(z).
В частности, если f(z)=g(z)/h(z) , где g(z),h(z) аналитичны в окрестности точки a и g(a)≠ 0, h(a)=0, h'(a)≠ 0, то a -- простой полюс и Res[f(z),a]=g(a)/ h'(a) .
Доказательство. Требует доказательства только утверждение " в частности". Из условия следует, что h(z)=(z-a)⋅ s(z) для некоторой аналитичной функции s(z) такой, что s(a)≠ 0. Тогда f(z)=1/ z-a ⋅ g(z)/ s(z) и g(a) / s(a) ≠ 0. Следовательно, a -- простой полюс. Далее, переходя в следующем соотношении (z-a)f(z)= g(z) /[ (h(z)-h(a))/(z-a)] к пределу z→ a, получаем формулу Res[f(z),a]= g(a)/ h'(a) .□
Основная теорема о вычетах. Пусть f(z) аналитична в замкнутой области D, кроме точек a_1,a_2,...,a_m, лежащих внутри области D. Тогда
∮_ ∂D f(z) dz=2π i(Res[f(z),a_1]+Res[f(z),a_2]+...+Res[f(z),a_m]).
Доказательство. Пусть c_1,c_2,… , c_m -- окружности достаточно малых радиусов с центрами в точках a_1,a_2,… ,a_n такие, что круги K_1,… , K_m ими ограничиваемые, целиком лежат внутри области D и не пересекаются. Тогда f(z) аналитична в области D\(K_1∪ … ∪K_m) и по теореме Коши имеет место равенство:
∮ _ ∂ D-c_1-… -c_m f(z) dz=0.
Отсюда следует, что
∮ _ ∂ D f(z) dz=∮ _ c_1+… +c_m f(z) dz=∮ _ c_1 f(z) dz+… +∮ _ c_m f(z) dz= =2πi [Res[f(z),a_1]+… +2πi Res[f(z),a_m], что и требовалось доказать.
Пример Вычислим интеграл:
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.