Теория функций комплексного переменного. Поле комплексных чисел, страница 14

ò _|z| =3  dz/  z^3-5z^2+4z =2\pi i[\Res(\frac 1  z^3-5z^2+4z ,0)+

\Res(\frac 1  z^3-5z^2+4z ,1)]= = 2\pi i[\frac 1  z^2-5z+4 left/_ z=0 +

\frac 1  z(z-4) /_ z=1 .]=2\pi i(\frac 1  4 -\frac 1  3 )=-\frac \pi i  6 .

22  Вычисление интегралов с помощью вычетов

Предложение. Предположим, что бесконечно удаленная точка является нулем второго или более высокого порядка функции f(z), т.е. разложение в ряд Лорана в окрестности ∞  имеет вид

f(z)=c_ -2 /  z^2 + c_ -3  / z^3 + c_ -4 /  z^4 +...

Допустим также, что f(z) является аналитической функцией на действительной оси, а в верхней полуплоскости Im z>0 имеет лишь конечное число особых точек a_1,a_2,...,a_n. Тогда

ò _ -∞  ^ +∞  f(x) dx=2πi∑ _ j=1 ^ j=n Res[f(z),a_j]  (1)

Доказательство.  Все лежащие в верхней полуплоскости особые точки можно заключить внутрь расположенного в верхней полуплоскости полукруга достаточно большого радиуса R с центром в начале координат. По основной теореме о вычетах получаем

ò _L f(z)  dz+ò _ -R ^ +R f(x)  dx=2πi∑_ j=1 ^n Res[f(z),a_j],    (2)

где L -- верхняя полуокружность радиуса R, проходимая против часовой стрелки. Так как f(z)=g(z)/z^2 , где g(z) -- ограничена на бесконечности, например, числом M, то

|ò _L f(z) dz |=|ò _L   g(z)dz / z^2|   ≤  M / R^2 ⋅ π  R=M/πR → 0

при R→ +∞ . Тогда, переходя в соотношении  (2) к пределу R→ +∞ , получаем требуемое равенство.

Пример.  Вычислим интеграл:

ò_ -∞^ +∞  dx / (x^2+1)^2 =2πi Res[1/(z^2+1)^2 ,i]=2πi(-1/4i)= π/2 .

Лемма К. Жордана (лЖ). Пусть на некоторой последовательности дуг окружностей   ( – фиксировано) функция  стремится к нулю равномерно относительно  Тогда для любого положительного числа λ

Доказательство. Обозначим .  По условию леммы  при . Величина  также стремится к 0, причем . Пусть сначала a>0.

                      E                                  На рис. .  На дугах АВ и CD имеем 

        C                                B              , следовательно     

D               -a          A                 .    На основании неравенства       

Рис. Лемма Жордана         , справедливого при , мы заключаем, что на дуге BE имеет место неравенство

Следовательно,

Если для дуги EC отсчитывать полярный угол от отрицательной полуоси, то оценка интеграла по этой дуге будет такая же как и для дуги BE. Случай  разобран. Случай  еще проще – не надо оценивать интегралы по дугам AB и CD. □

Замечание. Последовательность дуг  можно заменить на семейство дуг  радиуса .

Переформулировка леммы Жордана. Заменим . Пусть на некотором семействе дуг окружностей  радиуса  и  функция  стремится к нулю равномерно относительно  Тогда для любого положительного числа t

Следствие. Пусть f(z)=e^ imz F(z), причем m>0, и F(z)→ 0, когда z→ ∞  по любому  закону, оставаясь, однако в области Im z≥ 0. Предположим, кроме того, что f(z) аналитична, а в верхней полуплоскости имеет не более конечного числа особых точек a_1,a_2,...,a_n. Тогда  

ò _ -∞  ^ +∞  f(x) dx=2π  i∑ _ j=1 ^ j=n Res[f(z),a_j].

Пример  Вычислим интеграл:

ò _ -∞^ +∞  xcos x dx / x^2-2x+10 =ò_ -∞^ +∞  ze^ iz  dz / z^2-2z+10 = = Re 2πi⋅ Res[ze^ iz/ z^2-2z+10 ,1+3i] =Re 2πi(1+3i)e^(-3+i)/2(1+3i)-2 = 3πe^(-3)(cos1-3sin1).

Интеграл Дирихле.  Вычислим следующий интеграл: ò_0^ +∞ sin x/x dx.   Он равен интегралу 1/2 Re  ò_ -∞^ +∞  e^ ix /x dx .  Имеем:

ò_ -∞^+∞  e^ ix /  x dx=πi⋅ Res[e^ iz /  z ,0]=πi.

Отсюда следует равенство:

ò_0^ +∞  sin x / x dx=π /  2 .

23  Литература

[БН]  Бугров Я.С.,  Никольский С.М. Диффeренциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции   комплексного переменного. --  М.: Наука, 1989. -- С.367-430.

[ЛЭ]  Лунц Г.Л.,  Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного. -- СПб, 2002. -- 298с.

[ЛШ]  Лаврентьев М.А.,  Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. Гостехиздат, 1951 -- 496с.