В силу непрерывности функции f(z) для любого 𝜺 >0 найдется ρ =ρ (𝜺 )>0 такое, что |f(z)-f(a)| <𝜺 для любых z на окружности cρ . Отсюда получаем оценку:
Ввиду соотношения ( 1) и равенства òc_ρ f(a)dz /(z-a) =2πi f(a), извлекаем неравенство
| òL f(z)dz /(z-a) -2πi f(a)| ≤ 2π 𝜺 .
Переходя здесь к пределу 𝜺 → 0, получаем интегральную формулу Коши
Интегральную формулу удобно переписать в виде
где ζ -- переменная, пробегающая границу области D, а z -- любая внутренняя точка области D. Тогда формула Коши (2) выражает следующий факт:
значения аналитической функции внутри области однозначно определяются значениями на границе этой области.
Применим интегральную формулу, когда L -- окружность радиуса R с центром в точке z=a. Учитывая, что L: z=a+Rei𝜑 (0≤ 𝜑 ≤ 2π ) и dz=Riei𝜑 d𝜑 , получаем
В правой части стоит среднее интегральное значений функции f(z) на окружности L . Отсюда вытекает
Принцип максимума: модуль функции, отличной от постоянной и аналитичной в некоторой области, не может ни в одной внутренней точке этой области принимать максимальное для этой области значение.
Формула для интегрального представления производных высших порядков функции f(z) получается дифференцированием (2) под знаком интеграла:
Рассмотрим функцию f(z), аналитическую внутри замкнутого круга D с центром в точке a. Тогда для любой внутренней точки z этого круга имеет место равенство
f(z)= 1/2πi ò_ ∂D f(ζ)dζ /ζ-z .
Преобразуем:
1/ ζ -z =1/[(ζ-a)-(z-a)] =1/(ζ-a)(1-z-a/ζ-a ) =
=1+z-a/ζ -a + (z-a)^2 /(ζ -a)^2 +...+ (z-a)^n / (ζ -a)^n +...
Почленное интегрирование дает ряд Тейлора функции f(z) :
f(z)=c_0+c_1(z-a)+c_2(z-a)^2+… +c_n(z-a)^n+… , (tylor)
где
c_n= 1/2πi ò_D f(ζ)dζ /(ζ-a)^n+1 = f^ (n) (a)/ n! .
Из приведенных выше преобразований следует, что радиус сходимости ряда Тейлора равен расстоянию от a до ближайшей особой точки, т.е. точки, в которой нарушается аналитичность функции f(z) .
Теорема. Пусть |f(z)| ≤ M на окружности |z-a| =ρ. Тогда
|c_n| ≤ M/ ρ ^n . (оценка)
Доказательство. Действительно,
|c_n| =|1/2πi ò_ |ζ –a =ρ f(ζ) dζ / (ζ -a)^ n+1| ≤ 1 / 2π ⋅ M / ρ ^ n+1 ⋅ 2π ρ = M/ρ ^n .
Теорема Лиувилля. Аналитическая и ограниченная на всей комплексной плоскости функция может быть только константной.
Доказательство. Пусть функция f(z) аналитична и |f(z)| ≤ M на всей комплексной плоскости. Пусть
∑ _ n=0 ^ +∞ c_nz^n -- ряд Тейлора функции f(z) с центром в нуле. Пользуясь оценкой (оценка) и устремляя ρ → +∞ , получаем равенство c_n=0 при любом n≥ 1. Следовательно, f(z)=c_0 -- константа.□
Как следствие этого результата получаем основную теорему алгебры комплексных чисел
Теорема. Любой многочлен, не равный константе, имеет хотя бы один комплексный корень.
Доказательство. Пусть P(z) -- многочлен, не имеющий ни одного корня. Тогда функция f(z)=1 / P(z) аналитична на всей комплексной плоскости и ограничена в силу того, чтo lim_z→∞ 1/ P(z) =0 для любого многочлена P(z) степени ≥ 1. Следовательно, по теореме Лиувилля получаем, что функция f(z) -- константа. Значит и многочлен P(z) константный. □
Определение. Точка a -- ноль кратности n функции f(z), аналитической в окрестности точки a, если выполнено одно из следующих эквивалентных условий:
1) c_0=...=c_ n-1 =0 и c_n≠ 0 (здесь c_j -- коэффициенты ряда Тейлора функции f(z) в точке a);
2) f(a)=f'(a)=...=f^ (n-1) (a)=0, но f^ (n) (a)≠ 0;
3) f(z)=(z-a)^ng(z), где g(z) аналитична в точке a, и g(a)≠ 0.
Из разложения функции f(z) в точке a в ряд Тейлора (tylor) и из формулы ( eq:tylor2 ) сразу следует эквивалентность приведенных выше условий. □
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.