Математика \ Математическое программирование

Основные понятия теории массового обслуживания на примерах, страница 8

Это означает, что примерно в 57% случаев невозможно сделать заказ, так как телефон занят.

7. Вероятность того, что пришедшая заявка будет обслужена:

Р_об = 1 - Р_отк = 1 - Р₁ = Р₀ =3/7 ≈ 0,43.

Это означает, что примерно 43% времени стол заказов бездействует и лишь примерно 57% времени он занят оформлением заказов.

8. Относительная пропускная способность q = Р_об ≈ 0,43.

9. Абсолютная пропускная способность A = λ∙q ≈ 1/3∙0,43 = 1,433.

10. Интенсивность выходящего потока обслуженных заявок V = A ≈ 14,33.

11. Среднее число занятых каналов .

12. Среднее число заявок под обслуживанием .

13. Среднее число заявок, находящихся в СМО .

14. Среднее время пребывания заявок в СМО мин.

15. Среднее время обслуживания заявки, относящееся ко всем заявкам – как к обслуженным, так и к получившим отказ: мин.

Подключается второй телефон (m=2).

1. .

Это означает, что стол заказов бездействует 31% времени.

2. . Следовательно, оба телефона оказываются занятыми и заказ сделать невозможно в 28% случаев.

3. Среднее число занятых каналов . Отсюда видно, что лишь один из двух приемщиков занят оформлением заказов, а второй бездействует.

Пример 5. - В вычислительном центре работает m=2 персональных компьютеров (ПК).

- Простейший поток задач, поступающих в вычислительный центр (ВЦ), имеет интенсивность λ = 4 задач/час.

- Среднее время решения задачи равно часа.

- Заявка получает отказ, если все ПК заняты.

- Каждое решение задачи приносит доход D = 4 (д.е.).

- Содержание каждого ПК обходится С = 2 (д.е.) в час.

- Определить: выгодно или нет в экономическом отношении увеличение числа ПК до трех?

- Определить число персональных компьютеров в ВЦ, для которого относительная пропускная способность системы будет не менее 0,8, т.е. q≥0,8.

Решение. 1. Находим вероятность того, что в ВЦ нет ни одной заявки

, где .

2. Находим вероятность того, что в ВЦ заняты все m=2 ПК:

3. Находим относительную пропускную способность: q = 1 - P₂ = 1 – 0,55 ≈ 0,45.

4. Находим абсолютную пропускную способность, т.е. среднее число заявок, которое сможет обслужить ВЦ в час: задач/час.

5. Находим доход от заявок, приносимый СМО в данном варианте:

D₁ = D∙A ≈ 4∙1,8 ≈ 7,2 (д.е.)/час.

Подсчитаем те же показатели для трех ПК:

6. .

7. .

8. q′ = 1-P′₃ = 1 – 0,371 ≈ 0,629.

9. .

10. D₂ = D∙A′ ≈ 4∙2,52 ≈ 10,08 (д.е.)/час. Увеличение дохода равно

D* = D₂- D₁ = 10,08 – 7,2 = 2,88 (д.е.)/час; увеличение расхода равно 2 (д.е.)/час. Из этого видно, что переход от m = 2 к m = 3 экономически выгоден.

Таблица 1

11. Для ВЦ определяем оптимальное число ПК, если условием оптимальности считать обслуживание в среднем не менее 9 задач. Число каналов (ПК) будем постепенно увеличивать m=3,4,5,…. Результаты расчета характеристик для получаемой m-канальной СМО представлены в табл. 1.

Условие задачи q ≥ 0,8 удовлетворяется для пяти ПК, при этом q=0,87. В час будет обслуживаться в среднем А = 3,48 заявки. Среднее число занятых ПК . Вероятность отказа Р_отк = Р₅ = 0,13.