Математика \ Математическое программирование

Основные понятия теории массового обслуживания на примерах, страница 4

Таким образом, непрерывная случайная величина Т_об[4] (время обслуживания одним каналом одной заявки) распределена по показательному закону с параметром m = const. Функция распределения

(t ³ 0), плотность распределения [5] (t ³ 0), математическое ожидание (среднее время обслуживания одной заявки одним каналом)

дисперсия , среднее квадратическое отклонение .

4. Рассмотрим интервал времени, когда канал не занят обслуживанием. Поскольку интервалы простоя обслуживающего канала начинается с моментов завершения обслуживания и заканчивается при поступлении нового требования, продолжительность простоя каналов имеет такое же распределение, как и длительность интервалов между поступлениями требований, т.е. показательное распределение с параметром l = const.

Средняя длина интервала (математическое ожидание) равна .

5. В начальный момент времени t = 0 канал свободен, первое поступление имеет место в момент t (t>0). Требуется:

1. Построить граф состояния СМО. 2. Определить показатели СМО.

Решение.1. Состояние системы занумеруем по числу заявок, находящихся в системе

s₀ – канал свободен (ожидание),

s₁ – канал занят (идет обслуживание заявки).

Граф состояний показан на рис. 8

Рис. 8

2. Показатель нагрузки СМО (величина является безразмерной).

эрланг[6], (0<r<∞), где - средний интервал времени между двумя соседними заявками во входящем потоке (средняя длительность промежутков времени между последовательными моментами прибытия клиентов). .

3. Финальные вероятности состояний СМО.

Вероятность того, что канал свободен

. (1)

Обозначаем через

Р(k;ρ) = , k=0,1,2,…. (2)

Тогда Р(0,ρ) = =1,Р(1,ρ) = =ρ,Р(2,ρ) = , и т. д.

Обозначаем через

R(m;ρ) = , k=0,1,2,…. (3)

Тогда R(0;ρ) = ,R(1;ρ) = , и т.д., где Р(k;ρ) и R(m;ρ) – табличные функции распределения Пуассона.

Таким образом, из (1) и (2) получим

Р₀= (1+ρ)^-1= ,

Вероятность того, что канал занят:

. (4)

Из (2),(3) и (4) получим

Р₁= ρ Р₀= =

4. Вероятность отказа равна вероятности того, что канал СМО занят, т.е. вероятности того, что СМО находится в состоянии s₁:

5. Так как событие, состоящее в том, что пришедшая заявка получит отказ, и событие принятия пришедшей заявки на обслуживание являются противоположными, то сумма их вероятностей равна 1, т.е. Р_отк + Р_об=1. Таким образом, вероятность того, что пришедшая заявка будет обслужена: Р_об= 1 - Р_отк = 1 - Р₁ = 1 - r×Р₀ =

6. Относительная пропускная способность равна вероятности обслуживания заявки

7. Абсолютная пропускная способность или среднее число заявок, которое может обслужить СМО за единицу времени:

8. Интенсивность выходящего потока обслуженных заявок (который, подчеркнем, не следует путать с потоком обслуживания)

9. Среднее число занятых каналов можно подсчитать следующим образом: так как абсолютная пропускная способность А есть среднее число заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени, а один занятый канал обслуживает в среднем за ту же единицу времени m заявок, то среднее число занятых каналов будет равно

[7].

Можно подсчитать величину как математическое ожидание M[K] дискретной случайной величины К, представляющей собой число занятых каналов, которая может принимать значения 0 и 1 с вероятностью соответственно Р₀, Р₁.Тогда

, где Р₀+ Р₁ = 1, Р₁ = r×Р₀.