Основные понятия теории массового обслуживания на примерах, страница 3

10.5. Вероятность того, что система полностью загружена. Вероятность отказа заявок в обслуживании без ожидания Р_отк – вероятность того, что заявка покинет СМО необслуженной, или вероятность того, что все m каналов СМО будут заняты, или вероятность того, что поступившая заявка найдет все каналы занятыми. Другими словами - вероятность того, что пришедшая заявка получит отказ (не будет обслужена). Для этого нужно, чтобы все m каналов были заняты.

10.6. Вероятность того, что пришедшая заявка будет обслужена Р_об, т.е. поступившая заявка немедленно будет принята к обслуживанию - это вероятность того, что любой канал будет занят.

10.7. Относительная пропускная способность q – это средняя доля пришедших заявок, обслуживаемых системой, отношение среднего числа заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени, к среднему числу поступивших заявок за это же время.

10.8. Абсолютная пропускная способность А – это среднее число заявок, которое сможет обслуживать СМО в единицу времени.

10.9. Интенсивность входящего потока обслуженных заявок V.

10.10. Среднее число занятых каналов  - интенсивность обслуженных СМО заявок в единицу времени.

10.11. Среднее число заявок под обслуживанием .

10.12. Среднее число заявок, находящихся в СМО .

10.13. Среднее число заявок, находящихся в очереди .

10.14. Среднее время пребывания заявки в СМО .

10.15. Среднее время ожидания заявки в очереди , среднее время ожидания обслуживания.

10.16. Среднее время обслуживания заявки, относящееся ко всем заявкам, как к обслуженным, так и получившим отказ .

10.17. Среднее время обслуживания одной заявки одним каналом , среднее время занятости канала.

10.18. Средняя длительность промежутков времени между последовательными моментами прибытия заявок .

10.19. Вероятность того, что число заявок в очереди превышает определенное значение и т.п.

10.20. Закон распределения времени ожидания заявки в очереди.

10.21. Закон распределения времени пребывания заявки в СМО.

10.22 Средняя производительность группы источников, находящихся в активном состоянии .

10.23. Средняя интенсивность среднего суммарного входящего потока заявок .

10.24. Коэффициент готовности  - это вероятность того, что произвольный источник находится в активном состоянии.

10.25. Вероятность того, что в момент поступления заявки СМО находилась в состоянии .

10.26. Вероятность того, что поступившая заявка встанет в очередь для ожидания начала обслуживания .

10.27. Средняя потеря производительности за счет группы источников, находящихся в пассивном состоянии .

10.28. Средний доход, приносимый СМО в единицу времени, и т.п.

Ниже приводится без вывода ряд формул, выражающих финальные вероятности состояний и характеристики эффективности для некоторых часто встречающихся типов СМО.

12.2.Одноканальная СМО с отказами

Постановка задачи.

1. На одноканальную СМО поступает простейший поток заявок на обслуживание (входящий поток) с интенсивностью l[1] = const (среднее число заявок, поступающих в СМО в единицу времени). Таким образом:

a) Случайное число заявок Х(r), наступающих за промежуток времени r, распределено по закону Пуассона

;

его математическое ожидание (т.е. среднее число событий, наступающих в потоке за промежуток времени r) и дисперсия равны

, а среднее квадратическое отклонение

.

b) непрерывная случайная величина Т[2], представляющая собой промежуток времени между двумя любыми соседними заявками потока,

 распределена по показательному закону с параметром l=const. Функция распределения , плотность распределения  , математическое ожидание (средний интервал времени между двумя соседними заявками)

дисперсия , среднее квадратическое отклонение .

2. Заявка, поступавшая на вход в момент, когда m=1, т.е. канал занят обслуживанием, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем процессе обслуживания не действует, очередь в такой системе не образуется.

Рис. 7. Графики показательного распределения

при различных значениях l: l =0,5; l =1; l =2; l =5

3. Поток обслуживаний (выходящий поток), или поток заявок, обслуживаемых одна за другой одним непрерывно занятым каналом, является простейшим с интенсивностью m^[3] = const > 0 (среднее число заявок, обслуживаемое одним каналом за единицу времени при непрерывной его работе без простоя).