Математика \ Математическое программирование

Основные понятия теории массового обслуживания на примерах, страница 7

4. Дискретная случайная величина Х(r) – случайное число заявок, поступающих за промежуток времени r, распределено по закону Пуассона

;

его математическое ожидание (т.е. среднее число заявок, наступающих в потоке за промежуток времени r) и дисперсия равны:

, а среднее квадратическое отклонение .

Непрерывная случайная величина Т, представляющая собой промежуток времени между двумя любыми соседними заявками потока, распределена по показательному закону с параметром l=const (не зависит от времени t).

Функция распределения, плотность распределения , математическое ожидание (средний интервал времени между двумя соседними заявками)

дисперсия , среднее квадратическое отклонение .

6. Непрерывная случайная величина Т_об (время обслуживания одним каналом одной заявки) распределена по показательному закону с параметром m = const.

Функция распределения (t ³ 0), плотность распределения (t ³ 0), математическое ожидание (среднее время обслуживания одной заявки одним каналом, т.е. среднее время занятости канала)

дисперсия, среднее квадратическое отклонение .

7. Показатель нагрузки СМО эрланг (0<r<∞).

8. Вероятность того, что все m каналов свободны:

или .

9. Вероятность состояний СМО P_k, k=1,2,…,m [8], где и - табличные значения функции распределения Пуассона, или .

10. Вероятность того, что все m каналов системы будут заняты, т.е. пришедшая заявка получит отказ (не будет обслужена), значит:

11. Вероятность того, что пришедшая заявка будет обслужена (вероятность того, что канал «любой» занят):

12. Относительная пропускная способность равна вероятности обслуживания заявки

13. Абсолютная пропускная способность или среднее число заявок, которое может обслужить СМО за единицу времени:

14. Интенсивность выходящего потока обслуженных заявок (не стоит путать с потоком обслуживания)

15. Среднее число занятых каналов

16. Среднее число заявок под обслуживанием

17. Среднее число заявок, находящихся в СМО:

18. Среднее время пребывания заявки в СМО

19. Среднее время обслуживания заявки, относящееся ко всем заявкам, как обслуженным, так и получившим отказ: .

20. Среднее время полной загрузки системы

21. Среднее время простоя канала .

Пример 3. - Средний интервал между поступающими в прокатный пункт заявками и запросами на наличие определенных предметов составляет мин.

- Принимают заявки два работника, каждый с интенсивностью μ=12 заявок в час.

- С какой интенсивностью должен работать один работник, выполняя работу двух, чтобы доля потерянных требований осталась на прежнем уровне?

- На сколько требуется повысить интенсивность обслуживания двум работникам, чтобы доля потерянных заявок была менее 10%?

Решение. 1. Интенсивность поступления заявок на обслуживание

2. Интенсивность обслуживания каждого работника

μ = 12 заявок в час = 12/60 = 0,2.

3. Показатель нагрузки эрланг.

4. Доля потерянных требований для двух работников

5. Доля одного работника с λ = 0,2,

, отсюда μ = 0,8 .

Следовательно, один работник, выполняя работу двух, должен трудиться с интенсивностью μ = 0,8 = 0,8∙ 60 = 48 заявки/час, чтобы доля потерянных требований осталась на прежнем уровне.

6. Найдем интенсивность μ, чтобы доля потерянных заказов была меньше 10%.:

Принимаем , тогда .

Следовательно, каждому из двух работников требуется повысить интенсивность на 9 заказов/час (12 + 9) = 21, чтобы доля потерянных заказов была менее 10%.

Пример 4. - Гарантийная мастерская по ремонту холодильников принимает заказы на ремонт по одному телефону.

- Среднее число поступающих в течение часа заказов - 20.

- Среднее время оформления заказа – 4 мин.

- Определить показатели СМО.

- Как они изменятся, если подключить второй телефон?

Решение. 1. Интенсивность поступления потока заказов

, тогда среднее время между двумя очередными заказами равно