Магнитное поле. Основные теоретические положения, страница 3

Через точку А вокруг шины проведём прямоугольный контур 1-2-3-4-1 и применим к нему закон полного тока в интегральной форме:  = I.

В точках, расположенных вблизи поверхностей шины 1-2 и 3-4, создаётся однородное магнитное поле. Поскольку высота шины во много раз больше её толщины, результатом интегрирования вдоль сторон 1-4 и 2-3 можно пренебречь. В точках сторон 1-2 и 3-4 направления векторов  и  совпадают, а значение напряжённости Н одинаково. Тогда скалярное произведение векторов  и  заменяем произведением их модулей, а Н выносим за знак интеграла как константу. Получаем:

= Н·l₁₂ + Н·l₃₄ = Н·2h = I;     Н =.   (14.2)

ЗАДАЧА 14.7. Рассчитать магнитный поток, созданный уединенным проводником в однородной среде сквозь прямоугольную рамку  AB длиной l, длинные стороны которой параллельны проводнику (рис. 14.6).

Решение

Магнитный поток Ф через рамку АВ определяется потоком по трубке, ограниченной окружностями с радиусами r_А и r_В:   Ф =.

Но в соответствии с (14.1)  Н=;  В(r)=m_а·Н =m_а·.  Таким образом,

Ф =ln.                                             (14.3)

Примечание. Если рамку поворачивать вокруг своей оси, то макси-мальный поток будет проходить сквозь рамку, когда она расположена своей плоскостью перпендикулярно к силовым линиям (по радиальным линиям).

ЗАДАЧА 14.8. Рассчитать внешнюю индуктив-ность двухпроводной линии (рис. 14.7). Радиус проводов и расстояние между ними   r₀ = 1 см,   d= 1 м.

Решение

Внешняя индуктивность линии обусловлена магнитным потоком между проводами. Так как по проводам протекает одинаковый ток, то и созданные ими магнитные потоки между проводами равны. Поток от одного провода в соответствии с (14.3) –   Ф =ln.

Искомая внешняя индуктивность на 1 м длины линии:

L ==ln=ln= 1,84·10 ^-6 Гн = 1,84 мкГн.

ЗАДАЧА 14.9. Рассчитать поле и индуктивность коаксиального кабеля (рис. 14.8). По кабелю замыкается ток I.

Решение

Снаружи кабеля поле отсутствует, так как SI = 0. Таким образом, можно выделить три различные области (обозначены на  рис. 14.8,а  римскими цифрами) с магнитными проница-емостями  m_а1, m_а2, m_а3.

Для расчета поля используем закон полного тока:

= SI.

1. Область I –  0 < r < r₁ (рис. 14.8,б).     = H·2pr;

SI = I ;    H =·r;     B = m_а1·H =·r;    dФ = B·dS =·r·l·dr.

Так как во внутреннем проводнике магнитный поток dФ сцеплен только с частью тока I, которая пропорциональна отношению r²/r₁², то магнитное потокосцепление   dY = dФ·.

Внутренняя индуктивность первой области вычисляется по формуле

l₁ ===·=·=

и, как видим, не зависит от радиуса жилы.

2. Область II –  r₁ < r < r₂.

SI = I;   H =;   B =;    dY = dФ = B·dS =·l·dr.

внешняя индуктивность      l₂ ==ln.

3. Область III –  r₂ < r < r₃.

SI=I – I;   H=;    B=;   dФ=·l·dr.

Этот поток сцеплен с током I и частью обратного тока, равной   I.

Поэтому элементарное потокосцепление

dY  = dФ·= dФ·.

Внутренняя индуктивность третьей области:

l₃ ===

=·[– 2r +] =

=·[rln– r(r–r)+(r–r)] =

=[ln–].

Внешняя индуктивность кабеля –   l_е = l₂;  внутренняя индуктивность –   l_i = l₁ + l₃;    вся индуктивность –   l = l₁ + l₂ + l₃.

Примерный график зависимости Н(r) представлен на рис. 14.9.

Второй способ расчёта индуктивности коаксиального кабеля.

1.  Область I –   0 < r < r₁.     H =·r.

Энергия элементарного слоя dr (рис. 14.8) на расстоянии r от оси:

dW =dV = m_a1·2prl·dr = m_a1r²·2prdr = m_a1r³·dr.

L₁ ===m_a1==.

2. Область II –   r₁ < r < r₂.

SI = I;       H =;      dW = m_a22pr·dr = m_a2.

L₂ =m_a2=ln.

3. Область III –   r₂ < r < r₃.     H =;

dW = m_a32pr·dr = m_a3dr.

L₃ =m_a3[–2r+] =

=·[rln– r(r–r)+(r–r)].

ЗАДАЧА 14.10. Рассчитать внутреннюю индуктивность прямоуголь-ной шины (рис. 14.10).

Решение

Плотность тока в шине – d = I/(а·h). В соответствии с законом полного тока   Н·2h = d ·2хh,  откуда  Н = dх, то есть напряженность Н внутри шины зависит от  х  по линейному закону. На поверхности шины