Трёхфазные цепи. Основные теоретические положения

Активные мощности приёмников

P:=+ + (|I₄ + J₄|)²×Re(Z_4,4)

P= 3.506×10³

Реактивные мощности приёмников

Q:=+ + (|I₄ + J₄|)²×Im(Z_4,4)+

+ 2×Im(I₁××j×Im(Z_1,2)) + 2×Im(I₆××j×Im(Z_6,7))

Q = –1.762i×10³

4. ТРЁХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

4.1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Теория трёхфазных систем начинается с введения понятий: симметричные системы ЭДС, напряжений, токов; несимметричные системы ЭДС, напряжений, токов.

Краткий перечень названий ЭДС, напряжений, токов следующий:

- фазные ЭДС  e_A, e_B, e_C  соответствующих фаз генератора AX, BY, CZ;

- фазные токи  I_AX, I_BY, I_CZ ;

- фазные напряжения  U_AX, U_BY, U_CZ ;

- линейные напряжения  U_AB, U_BC, U_CA ;

- линейные токи  I_A, I_B, I_C ;

- ток нейтрали (нулевого провода)  I_N ;

- напряжение смещения нейтрали U_N или  (между нулевыми точками генератора и приёмника).

Соответственно, различают активные, реактивные, полные мощности фаз P_A, P_B, P_C, Q_A, Q_B, Q_C, S_A, S_B, S_C, а также активную P, реактивную Q и полную S мощности трёхфазных приёмников (или генератора), причём

P = P_A + P_B + P_C , Вт;      Q = Q_A + Q_B + Q_C , вар;      S=, ВА.

Трёхфазные цепи со статической нагрузкой, то есть не содержащие электродвигателей, трансформаторов и других активных элементов рассчитываются, как правило, комплексным методом. Их расчёт обычно сопровождается построением векторных или топографических диаграмм, которые предостерегают от возможных ошибок аналитических расчётов, делают все соотношения более наглядными.

Если в трёхфазной системе имеются устройства, сопротивления фаз которых зависят от системы токов (трёхфазные трёхстержневые трансформаторы, асинхронные или синхронные электродвигатели или генераторы, или хотя бы одно из таких устройств, мощность которого соизмерима с мощностью всей трёхфазной системы), то для расчёта несимметричного режима таких трёхфазных цепей применяют специальный метод расчёта – метод симметричных составляющих, который по сути своей является разновидностью метода наложения.

4.2. РАСЧЁТ СИММЕТРИЧНЫХ ТРЁХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Расчёт симметричных трёхфазных цепей сводится по сути к расчёту одной фазы по однолинейной эквивалентной схеме. В двух других фазах будут такие же по величине токи и напряжения, как в первой, но сдвинуты по фазе относительно них на угол 120°.

ЗАДАЧА 4.1.  К  симметричной   трёхфазной   цепи   с    напряжением U = 380 B  подключен симметричный приёмник, фазы которого соединены в «звезду» (рис. 4.1,а), сопротивления фаз  r = 12 Ом,  х = 16 Ом.

Найти показания приборов, построить векторную диаграмму цепи.

Решение

Когда говорят о напряжении трёхфазной цепи, подразумевают линей-ное напряжение сети (по умолчанию). Если задаётся фазное напряжение, то это подчёркивается специально.

В условиях нашей задачи напряжение сети  U = 380 B,  причём по условию симметрии:U_АВ = U_ВС = U_СА = U = 380 B.

Фазные напряжения меньше линейных в  раз:

U_А = U_В = U_С = U/ = 380/ = 220 B.

Предположим, что фазы генератора соединены в звезду, тогда фазные ЭДС генератора     Е_А = Е_В = Е_С = U_Ф = 220 B.

В симметричной системе Y-Y узловое напряжение  U_N = 0и расчёт состояния цепи можно вести по схеме замещения для одной фазы (рис. 4.1,б).

Примем Е_А = 220 B, ток в схеме замещения

I_А === 11×e ^–j53,13° A, причём фазное напряжение приёмника  = Е_А – U_N = Е_А = U_А.

Результаты расчёта режима работы остальных фаз (В и С) запишем на основании понятия о симметричной трёхфазной системе прямого порядка следования фаз               Е_В = = U_B = Е_А×e ^–j120° = 220×e ^–j120° B;

Е_C = = U_C = Е_А×e ^j120° = 220×e ^j120° B;

аналогично для токов     I_В = I_А×e ^–j120° = 11×e ^–j173,13° A;

I_C = I_А×e ^j120° = 11×e ^j66,87° A.

Векторная диаграмма цепи приведена на рис. 4.2, для которой потенциал нулевой точки генератора, обмотки которого соединены в «звезду», j _O = 0(рис. 4.1,б).

j _A = Е_А = 220 B;    j _B = 220×e ^–j120° B;    j _C = 220×e ^j120° B;     = j _O + U_N = 0;

U_AO = j _A – j _O = Е_А = = j _A – = U_A = 220 B;    аналогично    U_B = j _B – j _O = 220×e ^–j120° B;  U_C = j _C – j _O = 220×e ^j120° B;

а токи фаз ориентированы относительно своих фазных напряжений (сдвину-ты на угол  j = arctg= arctg= 53,13°).

Линейные напряжения:

U_AВ = j _A - j _В =U_A××e ^j30°=

= 380×e ^j30° B;

U_ВС = U_AВ×e ^–j120° = 380×e ^–j90° B;

U_СA = U_AВ×e ^j120° = 380×e ^j150° B.

Напряжения и токи кату-шек  ваттметров:

U_W1 = U_AВ = 380×e ^j30° B;

I_W1 = I_A = 11×e ^–j53,13° A;

U_W2 = -U_ВC = 380×e ^j90° B;

I_W2 = I_C = 11×e ^j66,87° A.

Показания приборов:

- амперметр A измеряет линейный ток I_B и его показание   I_B = 11 A;

- вольтметр V₁ измеряет линейное напряжение U_AВ = 380 B;

- вольтметр V₂ измеряет фазное напряжение приёмника

U_A = 220 B;

- показания ваттметров:

P_W1 = Re[U_W1×] = Re[U_AB×] = U_AВ×I_A×cos(j + 30°)=

= 380×11×cos(53,13°+30°)= 500 Вт;

P_W2 = Re[U_W2×] = Re[U_СВ×] = U_СВ×I_С ×cos(j– 30°)=

= 380×11×cos(53,13° – 30°)= 3846 Вт.