Нелинейные электрические и магнитные цепи постоянного тока

R2 = R4 = 40 Ом,  Е = 100 В,  J1 = 0,2×I₁,  J2 = 0,5×I₂. Сделать проверку по второму закону Кирхгофа.

Решение

Задачу решим методом контурных токов. В качестве контурных токов взяты:  I_I = J1,   I_II = J2,   I_III = I₁; направления обхода контуров показаны на рис. 1.61.

Токи ветвей, являющиеся управляющими, запишем через контурные токи:  I₁ = I_III;  I₂ = I_II + I_III. Тогда токи управляемых источников (они же и контурные токи):

I_I = J1 = 0,2×I₁ = 0,2×I_III;    I_II = J2 = 0,5×I₂ = 0,5×I_II + 0,5×I_III.

Из последнего уравнения вытекает, что  I_II = I_III.

Поскольку неизвестным считается только один контурный ток (I_III), для него и составляем контурное уравнение:

(R1 + R2 + R3 + R4)×I_III– (R3 + R4)×I_I + (R2 + R3)×I_II = E

или   (R1 + R2 + R3 + R4)×I_III– (R3 + R4)×0,2×I_III + (R2 + R3)×I_III = E.

Отсюда третий контурный ток:

I_III==

== 0,714 А.

Токи управляемых источников (остальные контурные токи):

J1 = I_I = 0,2×I_III = 0,2×0,714 = 0,143 А;             J2 =I_II =I_III = 0,714 А.

Токи ветвей, выраженные через контурные токи:

I₁ = I_III = 0,714 А;      I₂ = I_II + I_III = 0,714 + 0,714 = 1,428  А;

I₃ = I_II + I_III – I_I = 0,714 + 0,714 – 0,143 = 1,285 А;

I₄ = I_III – I_I = 0,714 – 0,143 = 0,571  А.

Уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа для третьего контура имеет вид:

R1×I₁ + R2×I₂ + R3×I₃ + R4×I₄ = Е.

Подставим числовые значения:

10×0.714 + 40×1.428 + 10×1.285 + 40×0.571 = 99,95 » 100 В.

2. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Между величинами, характеризующими электрические и магнитные цепи, существует формальная аналогия:

Электрические цепи	Магнитные цепи
Ток I, А	Поток Ф, Вб
ЭДС Е, В	МДС F=I×W, А
Сопротивление r, Ом	Магнитное сопротивление RM, 1/Гн
Напряжение U, В	Магнитное напряжение UM=H×l, А

Эта формальная аналогия распространяется и на уравнения, описывающие состояние цепей:

-  первый закон Кирхгофа:    SI= 0,          S Ф = 0;

-  второй закон Кирхгофа:     SU_r= S Е,    SU_М= SF;

-  закон Ома:U_r=I×r,U_М= Ф×R_M ;

причём в последних выражениях используются статические сопротивления электрических элементов (r) и магнитных элементов (R_M).

Свойства нелинейных элементов определяются их характеристиками: электрических – вольтамперными    U= f(I),   магнитных – вебер-амперными Ф = f(U_M).

Системы уравнений, описывающих состояние цепей, составляются с помощью законов Кирхгофа. С точки зрения математики – это нелинейные алгебраические уравнения, для разрешения которых применяются различные приближённые методы, которые в курсе ТОЭ называют методами расчёта нелинейных цепей.

Наиболее часто употребляются:

1)  графические методы;

2)  графо-аналитические методы;

3)  численные методы.

2.1. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

Свойства нелинейных элементов определяются их вольтамперными характеристиками и в рассматриваемых задачах анализа электрических цепей считаются заданными: либо снятыми экспериментально с помощью вольтметров и амперметров, либо определяются паспортными данными по каталогам или данным заводов-изготовителей.

ЗАДАЧА 2.1. На рис. 2.1,а приведена вольтамперная характеристика лампы накаливания с вольфрамовой нитью, на рис. 2.1,б – стабилитрона, на рис. 2.1,в – туннельного диода. Для указанных точек (рабочих точек устройства, точек равновесия) определить статические и дифференциальные сопротивления элементов.

Решение

Проведём через указанные точки секущие из начала координат (сек) и касательные (кас). Для рис. 2.1,а получаем:

r_стА === 30 Ом,r_дА == lim== 45,5 Ом;

r_стВ === 83,3 Ом,r_дВ === 250 Ом;

r_стС === 156,3 Ом,r_дС === 385 Ом.

Для рис. 2.1,б получаем:

r_стА == 6,25 Ом,r_дА == 0,25 Ом;

r_стВ == ¥ Ом,   r_дВ == ¥ Ом;

r_стС == 25 Ом,          r_дС == 0 Ом.

Для рис. 2.1,в получаем:

r_стА == 13,3 Ом,   r_дА == 13,3 Ом >0;

r_стВ == 150 Ом,   r_дВ === -96,2 Ом < 0;

r_стС == 267 Ом,r_дС == 100 Ом > 0.

Заметим, что на спадающем участке вольтамперной характеристики дифференциаль-ное сопротивление отрицательное.

ЗАДАЧА 2.2. Рассчитать ток цепи рис.2.2, проверить баланс мощностей, если  U= 100 В,   r₂ = 20 Ом,    вольтамперные характеристики нелинейных резисторов заданы таблицами:

Таблица 2.1                                                   Таблица 2.2

U1, В	0	15	20	23	30		U3, В	0	5	15	40	80
I1, A	0	0,5	1	2	4		I3, A	0	1	2	3	4

Решение

Воспользуемся графическим методом расчёта нелинейной электрической цепи, предварительно составив систему расчётных уравнений:

по второму закону Кирхгофа      U₁ + U₂ + U₃ = U, причём из-за последовательного соединения резисторов их токи одинаковы:

I₁ = I₂ = I₃ = I, связи между токами и напряжениями участков с нелинейными элементами