Нелинейные электрические и магнитные цепи постоянного тока, страница 2

U₁= f₁(I₁)  – таблица 1,       U₃= f₂(I₃)  – таблица 2, а для линейного элемента по закону Ома имеем аналитическую зависимость

U₂ = I₂×r₂.

Графические построения, соответствующие приведенной системе уравнений, показаны на рис. 2.3 и выполнены в системе прямоугольных координат I(U).

Перепишем исходное уравнение, записанное по второму закону Кирхгофа, оставив в левой части напряжения на нелинейных элементах, а в правую часть перенесём линейное соотношение  U₂ = I×r₂:

U₁ + U₃ = U– I×r₂.

Построим вспомогатель-ные зависимости (рис. 2.3)

(U₁ + U₃)(I)   и    (U– I×r₂)(I), точка пересечения А которых определяет решение задачи:

I = 2,5 А,   U₁ = 25 В,   U₃ = 25 В.

Проверка баланса мощ-ностей:

- мощность источника питания (генератора)

Р_Г = U×I = 100×2,5 = 250 Вт;

- сумма потребляемых резисторами мощностей

SР_П = U₁×I + U₃×I + I ²×r₂ = 25×2,5 +25×2,5 + 2,5²×20 = 250 Вт.

Баланс мощностей  Р_Г =SР_П  сходится, задача решена верно.

ЗАДАЧА 2.3. Графическим методом рассчитать токи в схеме рис. 2.4 и напряжение источника питания, проверить баланс мощностей, если

I₁₃ = 5 А,r₃ = 14 Ом, вольтамперные характеристики нелиней-ных резисторов заданы таблицами:

Таблица 2.3                                                        Таблица 2.4

U1, В	10	20	30	40	50	70		U2, В	10	20	40	60	80
I1, A	2	3	2	1	2	4,8		I2, A	1,25	2	2,5	3	3,3

Решение

Для параллельного соединения исходные уравнения запишем по первому закону Кирхгофа, к которым добавим уравнения связей между токами и напряжениями участков:       I₁₃ = I₁ + I₃,      I = I₂ + I₁₃,

I₁ = f₁(U₁), I₂ = f₂(U₂),     U₃ = I₃×r₃,  причём  U = U₁ = U₂ = U₃.

Решим сначала первое из приведенных уравнений, переписав его в виде                                I₁ = I₁₃ - , где слева – ток нелинейного элемента  I₁ = f₁(U), задан табл. 2.3, а справа – линейная зависимость от напряжения U:         I₁₃ -  = 5 - .

Указанные зависимости приведены на рис. 2.5,а вместе с решением первого из приведенных уравнений.

Так как графический расчёт имеет значительную погрешность, выполним проверку решения по рис. 2.5,а: равно ли    I₁ = I₁₃ - ?

1,6  (5 –) = (5 – 3,393) = 1,607, где   I₃ = 3,393 А.

Результат отличается в 4^м знаке, что указывает на достаточную точность решения.

На рис. 2.5,б показано определение тока I₂.

Ток генератора  I = I₂ + I₁₃ = 2,7 + 5 = 7,7 А.

Мощность генератора     Р_Г = U×I = 47,5×7,7 = 365,8 Вт;

Сумма мощностей потребителей

SР_П = U×I₂ + I₃²×r₃ + U×I₁ = 47,5×2,7 + 3,393²×14 + 47,5×1,6 = 365,4 Вт.

Р_Г »SР_П – выполняется.

ЗАДАЧА 2.4. Рассчитать токи, проверить баланс мощностей в схеме рис. 2.6, если  U = 80 В,r₂ = 10 Ом, вольтамперные характеристики нелинейных резисторов заданы таблицами:

Таблица 2.5

U1, В	20	35	46	50	53	54
I1, A	2	4	6	8	10	12

Таблица 2.6

U3, В	0	5	20	40	60	90
I3, A	0	2	4	5,2	6	6,5

Решение

В системе координат U(I) рис. 2.7 строим вольтамперные характеристики параллельно включенных элементов  I₃(U₃)  и  U₂ = I₂×r₂,   а также вспомогательную характеристику

(I₂+ I₃)(U₂₃) =  (I₁)(U₂₃),      так как  I₁ = (I₂+ I₃).

По второму закону Кирхгофа      U₁+U₂₃= U или   U₂₃= U– U₁.

Строим вспомогательную характеристику     U – U₁ = U – f₁(I₁),

которую рассчитываем, задаваясь рядом значений тока I₁. Результаты расчёта сводим в табл. 2.7.

Таблица 2.7