Линейные цепи синусоидального тока. Основные теоретические положения, страница 9

i₂(t) = 5,93×sin(wt + 168,4°) A;

i₃(t) = 11,86×sin(wt + 25,2°) A.

5. Условие резонанса токов:      b₂ = b₃.

b₂ =;     b₃ == См;     х_С2 ==== 6,25 Ом.

6. Условие резонанса напряжений   х_С1= х₂₃, но    Z₂₃ === 7,46 Ом,

х₂₃ = Z₂₃×sin(j ₃ – y_i1) = 7,46×sin(53,1° – 26,6°) = 3,33 Ом.

Таким образом, резонанс напряжений наблюдается при  х_С1= 3,33 Ом.

3.3.2. Задачи для самостоятельного решения

ЗАДАЧА 3.24. Рассчитать мгновенные и действующие значения напряжений и токов схемы рис. 3.24, составить баланс активных и реактивных мощностей, построить полную векторную диаграмму напряжений и токов, если:

u(t) = 200×sin(wt +120°) B;

х₁ = 28 Ом;   х₃ = 24 Ом;r₂ = 24 Ом.

Ответы:   i₁(t) = 10×sin(wt + 66,87°) A;   u_ab(t) = 280×sin(wt +156,87°) B;

u_bc(t) = 120×sin(wt +21,87°) B;     i₂(t) = 5×sin(wt +21,87°) A;

i₃(t) = 5×sin(wt +111,87°) A;    P = 600 Вт;   Q = 800 вар.

ЗАДАЧА 3.25. Методом проводимостей определить показания прибо-ров электродинамической системы в схеме рис. 3.25, если: u= 200 B;

х₁ = 8 Ом;   х₂ = 10 Ом;r₃ = 5 Ом;

 х₃ = 15 Ом;r₁ = 6 Ом.

Построить векторную диаграм-му цепи.

Ответы: A₁ ®10 A;  V ® 224 B;

A₂ ® 22,4 A;  A₃ ® 14,14 A;

W ® 1000 Вт.

3.3.3. Задачи повышенной сложности решения

ЗАДАЧА 3.26. Опре-делить напряжение и ток источника питания схемы рис. 3.26 и её параметры по известным показаниям при-боров: V₁® 80 B; V₂®100 B;

A₁ ® 1 A;A₂ ® 1,6 A;

W ® 180 Вт.

Построить векторную диаграмму цепи.

Ответы:u= 81,47 B;i  = 2,27 A;

r₁ =100 Ом;   х = 35,2 Ом;  х₂ = 54,13 Ом.

ЗАДАЧА 3.27. Цепь рис. 3.27 находится в состоянии резонанса. Ваттметр показывает 100 Вт, ампер-метры A₁ и A₂ – 4 и 5 А, R₁ = R₂. Требуется определить х_L, х_C  и показа-ние амперметра А₀.

Ответы:i₀ = 11,33 A;   х_L = 2,205 Ом;    х_C = 1,41 Ом.

3.3.4. Применение ПЭВМ для решения задач на метод проводимостей

ЗАДАЧА 3.28. В схеме рис. 3.28 рассчитать все токи, составить баланс активных и реактивных мощностей, если u= 200 B;

r₁ = r₂ = 2 Ом;  r₃ = 4 Ом;   r₄ = 20 Ом;х_C1 = х_C2 = 8 Ом;х_L = 6 Ом.

Программа решения задачи в системе MathCAD

Исходные данные

u:= 200  r1 := 2  r2 := 2  r3 := 4   r4 := 20     хC1 := 8     хC2 := 8     хL := 6

Определяем полные сопротивления, а также активные и реактивные проводимости параллельно включенных ветвей

Z2 :=     Z3 :=      g2 :=       g3 :=       g4 :=

b2 :=       b3 :=       b4 := 0

Активная, реактивная и полная проводимости эквивалентной ветви

ge := g2 + g3 + g4     be := b2 – b3 + b4         ye :=

Полное, активное и реактивное сопротивления эквивалентной ветви

Ze := ye ^-1       re := ge×Ze²      xe := be×Ze²

Полное входное сопротивление цепиZ :=

Ток в неразветвлённой части цепи        I1 :=

Напряжение на параллельно включенных ветвях   U12 :=I1×Ze

Токи в параллельно включенных ветвях    I2 :=     I3 :=    I4 := 

Ответы для токов в А     I1 = 20      I2 = 20     I3 = 14.142       I4 = 6.325    

Активная и реактивная мощности источника

Pi := U×I1×       Qi := U×I1×       Pi = 3.2´10³     Qi = -2.4´10³    

Активная и реактивная мощности приёмников

Pp := I1²×r1+I2²×r2+I3²×r3+I4²×r4                Qp := -I1²×xC1+I2²×xL-I3²×xC2

Pp = 3.2´10³     Qp = -2.4´10³                    

Следовательно, балансы мощностей сходятся.

3.4. Комплексный (символический) метод

ЗАДАЧА 3.29. Решить задачу 3.2 комплексным методом.

Решение

Исходные данные представим комплексными числами:

комплексная амплитуда напряжения сетиU_m = U_m×e ^jyu = 200×e ^{– j20°}B;

комплексное сопротивление цепи  r-L

Z = r + jwL = 35 + j2p×50×80×10^-3 = 35 + j25,12 = 43,1×e  ^j35,67° Ом.

По закону Ома рассчитаем комплексную амплитуду тока

I_m === 4,64×e ^–j55,67° А.

Мгновенное значение тока

i(t) = Im= Im=

= Im= 4,64×sin(wt–55,67°) A.

Комплексная мощность на входе цепи

S === 464×e  ^j35,67° = 377 + j270,5  ВА = Р + jQ.

ЗАДАЧА 3.30. В схеме рис. 3.29 определить действую-щее и мгновенное значение напряжения на ёмкости, если