Линейные цепи синусоидального тока. Основные теоретические положения, страница 3

Амплитуды:                U_m = 400 B,  I_m = 1,5 A.

Следовательно,      u(t) = 400×sin(314t+30°) B,i(t) = 1,5×sin(314t-45°) A.

Действующие значения:U === 282 B, I === 1,061 A.

ЗАДАЧА 3.2. Цепь r, L с параметрами  r = 35 Ом,   L = 80 мГн  питается от источника синусоидального напряжения частоты  f = 50 Гц.  Амплитудное значение напряжения питания  U_m= 200 B,  а начальная фаза  ψ_u = -20°. Рас-считать мгновенное и действующее значения тока. Построить векторную диаграмму цепи. Найти активную, реактивную и полную мощности цепи. Построить треугольник мощностей.

Решение

Приведём расчётную схему цепи (рис. 3.3,а).

Запишем мгновенное значение приложенного к цепи r, L напряжения:

u(t) = U_m×sin(ωt + ψ_u)= 200×sin(ωt – 20°) B.

Круговая частота    ω = 2pf = 2p×50 = 314 рад/с. 

Индуктивное сопротивление цепи   x_L= ωL = 314×80×10 ^-3 = 25,12 Ом.

По второму закону Кирхгофа для контура цепи    u = u_r + u_L   или в век-торной форме   u= u_r + u_L.   На основании этого уравнения строится вектор-ная диаграмма напряжений (рис. 3.3,б).

Треугольник сопротивлений цепи приведен на рис. 3.3,в. Это – прямо-угольный треугольник, из которого получаем полное сопротивление цепи        Z === 43,1 Ом

и угол сдвига фаз между током и напряжением

j= arctg= arctg= 35,67°.

По закону Ома для амплитудных значений    I_m=== 4,64 A.

Начальная фаза синусоиды тока      ψ_i = ψ_u – j = -20° – 35,67°= -55,67°.

Мгновенное значение искомого токаi(t) = 4,64×sin(314t – 55,67°) A.

Действующее значение тока      I === 3,28 A.

Действующие значения напряжений на участках:

- на резисторе                                         u_r = I× r = 3,28×35 = 115 B;

- на индуктивностиu_L = I× x_L = 3,28×25,12 = 82,4 B;

- на входе цепи (напряжение сети)u === 141,4 B.

Активная мощность цепи   P = U×I×cosj = I ²×r = 3,28²×35 = 376,5 Bт.

Реактивная мощность        Q= U×I×sinj = I ²×x_L = 3,28²×25,12 = 270,2 вар.

Полная мощность               S = U×I = 141,4×3,28 = 464 BA.

Треугольник мощностей приведен на рис. 3.3,г.

Отметим, что на основании любого из треугольников рис. 3.3 можно рассчитать коэффициент мощности

cosj ===== 0,811 = cos35,67°, полученный ранее на основании треугольника сопротивлений цепи.

ЗАДАЧА 3.3.   В   цепи   рис. 3.4,а   протекает   синусоидальный   ток  i(t) = 10×sin(ωt+15°) Aчастоты   f = 400 Гц.   Активные сопротивления   r₁ = = 10 Ом,   r₂ = 20 Ом,   ёмкость  С = 10 мкФ.

Рассчитать мгновенное значение напряжения сети u(t) и напряжения на конденсаторе u_С(t). Найти показания вольтметра и ваттметра. Построить векторную диаграмму цепи.

Решение

Ёмкостное сопротивление  x_С=== 39,81 Ом.

Амплитудное значение напряжения на ёмкости

u_Cm = I_m× x_C = 10×39,81 = 398,1 B.

Действующие значения

I=== 7,07 A,u_C=== 281,5 B.

Действующие значения напряжений на активных сопротивлениях

u_r1= I× r₁ = 7,07×10 = 70,7 B,      u_r2= I× r₂ = 7,07×20 = 141,4 B.

II-й закон Кирхгофа в векторной форме при одном токе I имеет вид  u_r1+u_r2+u_C = u,  в соответствии с которым построена векторная диаграмма цепи (рис. 3.4,б).

Из прямоугольного треугольника напряжений (наружный треугольник)

u=== 352 B,

j= arctg= arctg= -53°.

Мгновенное значение напряжения сети

u(t)= U_m×sin(ωt+ψ_i+j) = u××sin(ωt+15°+(-53°)) = 352×sin(ωt – 38°) B.

Напряжение на конденсаторе по фазе отстаёт от тока на 90°, его мгновенное значение  u_C(t)= 398,1×sin(ωt– 75°) B.

Напряжение на участке r₂-C, приложенное к ваттметру и вольтметру, рассчитаем по треугольнику напряжений  u₂-u_r2-u_C:

u₂ = u_W === 315 B.

Вольтметр схемы рис. 3.4,а измеряет действующее значение напряже-нияu₂ = 315 B.

Показание ваттметра:   P_W = u_W ×I_W ×cos.

В нашем примере  I_W  = I,  поэтому

P_W = u₂×I×cosj ₂ = I×(u₂×cosj ₂)= I×u_r2= I×I×r₂ = I ²×r₂ = P₂  – активная мощность, потребляемая сопротивлением r₂,  и   P₂ = 7,07²×20 = 1000 Bт.