Линейные цепи синусоидального тока. Основные теоретические положения, страница 8

 + ×r₂₃+ ×x₂₃+ + ×r₅₆+ ×x₅₆+ == .

При этом  =×x₁ =10×8 = 80 Bи этот вектор напряжения опережает ток   на 90°;

I₁×r₂₃= 10×12 = 120 B,            I₁×x₂₃= 10×16 = 160 B,

U_cd = I₁×x₄= 10×2 = 20 B,       I₁×r₅₆= 10×8 = 80 B,

I₁×x₅₆= 10×4 = 40 B,               I₁×r₁= U_ef = 10×4 = 40 B.

На рис. 3.21 падения векторных напряжений  ×r₂₃, ×x₂₃, ×r₅₆, ×x₅₆ построены пунктирно, так как эти напряжения отсутствуют в исходной схеме.

Далее переходим к построению векторов токов I₂ и I₃. Ток I₃ перпендикулярен напряжению  U_bc,  а ток =-.

Параллельно вектору U_de откладывается ток I₆, а ток =-стро-ится в соответствии с первым законом Кирхгофа.

Затем относительно тока I₂ откладываются векторы падений напряжений  =×x₂  и  =×r₂.

Векторная диаграмма принимает окончательный вид рис. 3.21. На этой векторной диаграмме указан также вектор напряжения .

ЗАДАЧА 3.22. В схеме рис. 3.22 известно:

U = 200 B; r₁ = 30 Ом;   x₁ = 50 Ом;

x₂ = 10 Ом;  r₃ = 5 Ом;  x₃ = 15 Ом.

Определить показания приборов.

Решение

1. Заменяем параллельное соеди-нение ветвей 2 и 3 эквивалентным последовательным соединением сопротивлений   r₂₃ и x₂₃:

g₂ = 0;       b₂ === 0,1 Cм;     Z₃ ==== 5 Oм;

g₃ = == 0,02 Cм;                   b₃ === 0,06 Cм;

g₂₃ = g₂ + g₃ = 0 + 0,02 = 0,02 Cм;      b₂₃ = b₂ – b₃ = 0,1 – 0,06 = 0,04 Cм;

Y₂₃ === 0,02 Cм;    Z₂₃ === 10 Oм;

r₂₃ === 10 Ом;              x₂₃ === 20 Ом.

2. Входное сопротивление цепи и её коэффициент мощности:

Z === 50 Oм;

cosj === 0,8.

Действующее значение тока в неразветвлённой части цепи (показание первого амперметра):    I₁ === 4 A.

Напряжение на зажимах параллельных ветвей:

U₂₃ = Z₂₃×I₁= 10×4 = 40 B.

Показания второго и третьего амперметров:

I₂ === 4 A;I₃ === 4 A.

3. Ваттметр включен на измерение активной мощности цепи. Его показание:

P = U×I₁×cosj = 200×4×0,8 = 640 Вт.

Активная мощность резисторов

P_R = r₁×I₁² + r₂×I₂² = 30×4² + 5×= 640 Вт

равна активной мощности источника, то есть налицо выполнение баланса активных мощностей.

ЗАДАЧА 3.23. В схеме рис. 3.23,а известно:u(t) =100×sin(wt+30°) B;

r₁ = 5 Ом;x_C1 = 8 Ом;  r₂ = 3 Ом; x_C2 = 10 Ом; x_L = 4 Ом.

Определить токи, коэффициент мощности, построить полную векторную диаграмму цепи. Задачу решить методом пропорциональных величин. Дополнительно ответить на вопросы: при каком  x_C2  будет резонанс токов? При каком  x_C1 будет резонанс напряжений?

Решение

1. Построим качественно векторную диаграмму (ВД) (рис. 3.23,б). Построение следует начинать с самого дальнего от источника участка цепи (это – третья ветвь). Поскольку здесь имеется последовательное соединение сопротивлений, сначала строим вектор тока I₃. Далее построение диаграммы ведётся от конца схемы к началу (источнику) с соблюдением законов Кирхгофа и правил построения ВД.

2. Расчёт выполняем в том же порядке, в каком строилась ВД.

Пусть  I₃ = 1 A,  т.е.  i₃(t) =×sin(wt) A.  Тогда

U_r2 = r₂×I₃ = 3 B,    U_xL = x_L×I₃ = 4 B,    I₂ === 0,5 A.

Проекции векторов токов на оси х и у:

I_3x = I₃ = 1 A,    I_3y = 0;    j ₃ = arctg= arctg= 53,1°,

I_2x = I₂×cos(j ₃ + 90°)= 0,5×(-0,8) = -0,4 A,    I_2y = I₂×sin(j ₃ + 90°)= 0,5×0,6 = 0,3 A.

Определяем первый ток по проекциям:

I_1x = I_2x + I_3x = -0,4 + 1 = 0,6 A,       I_1y = I_2y + I_3y = 0,3 A,

I₁ === 0,671 A.

Фаза первого тока    y_i1 = arctg= arctg= 26,6°.

Определяем расчётное значение входного напряжения по проекциям:

U_xC1 = x_C1×I₁ = 8×0,671 = 5,36 B;   U_r1 = r₁×I₁ = 5×0,671 = 3,35 B,

U_x = U_xC1×cos( 90° – y_i1) + U_r1×cos(y_i1) + U_r2 =

= 5,36×cos(90° – 26,6°) + 3,35×cos(26,6°) + 3 = 8,40 B,

U_y = U_xC1×sin(y_i1 – 90°) + U_r1×sin(y_i1) + U_xL =

= 5,36×sin(26,6° – 90°) + 3,35×sin(26,6°) + 4 = 0,707 B,

U_расч === 8,43 B,

y_Uрасч = arctg= arctg= 4,8°.

3. Коэффициенты пересчёта:

k === 11,86;     Dy =y_U– y_Uрасч = 30° – 4,8° = 25,2°.

4. Получаем ответы       i₁(t) = 7,96×sin(wt + 51,8°) A;