Линейные цепи синусоидального тока. Основные теоретические положения, страница 4

ЗАДАЧА 3.4. Найти токи и напряжения в электрической цепи рис. 3.5,а, если: активное сопротивление катушки  r_к = 4 Ом, индуктивное сопротивле-ние катушки  х_к = 6 Ом, активное сопротивление реостата  R = 2 Ом, ёмкост-ное сопротивление конденсатора  х_С = 14 Ом, напряжение сети переменного тока  U = 50 В.Построить векторную диаграмму цепи.

Решение

Ток цепи I, измеряемый амперметром А:

I==== 5 А.

Угол сдвига фаз цепи   j_вх = arctg= arctg= -53,13° < 0.

Вольтметр Vизмеряет входное напряжение   U = 50 В.

Напряжение на катушке измеряется вольтметром V₁:

U_к == I×Z_к = I×= 5×= 36 В.

Напряжение на реостате:         U_R = I×R = 5×2 = 10 В, напряжение на конденсаторе   U_C = I×х_С = 5×14 = 70 В.

Векторная диаграмма цепи построена на рис. 3.5,б.

Ваттметр измеряет активную мощность цепи

Р = U×I×cosj_вх = I ²×(r_к + R) = 5²×(4 + 2) = 150 Вт.

Обращаем внимание на то, что в последовательной цепи при наличии разнородных реактивных элементов (индуктивного и ёмкостного), напряже-ние на реактивном элементе может быть больше напряжения сети:

U_C =70 В > U = 50 В.

ЗАДАЧА 3.5. В условиях задачи 3.4 при неизменном напряжении сети и параметрах  r_к, х_к,R  в широких пределах изменяется сопротивление кон-денсатора  х_С(0¸¥).

Построить резонансные кривые I(х_С), U_L(х_С), U_С(х_С).

Решение

Ток в последовательной цепи рис. 3.5,а:

I== А, напряжение на индуктивностиU_L =I×х_L = I×6 В, напряжение на ёмкости

U_С =I×х_С == В.

Результаты расчёта резонансных кривых сведены в табл. 3.3.

Таблица 3.3

хС, Ом	0	2	4	6	8	10	12	14	20	30	¥
I, А	5,89	6,93	7,9	8,33	7,9	6,93	5,89	5	3,28	2,02	0
UL, В	35,4	41,6	47,4	50	47,4	41,6	35,4	30	19,7	12,1	0
UС, В	0	13,9	31,6	50	63,2	69,3	70,7	70	65,6	60,6	U = 50

В табл. 3.3 выделена колонка, когда х_к=х_С=6 Ом и в цепи наступает резонанс напряжений U_L=U_С. При этом входное сопротивление цепи минимальное         Z_{вх min} = r_к+R = 6 Ом, а ток максимальный   I_max === 8,33 A.

Кривая напряжения U_L повторяет по форме кривую тока, так как  х_к=const,  и тогда  U_Lmax = I_max×х_к = 8,33×6 = 50 В.

Найдём максимальное значение  U_Сmax в зависимости от х_С, исследовав кривую U_С(х_С) на максимум.

Координата  х_С  при  U_С = U_Сmax  определится уравнением

= 0  или  –= 0,

(r_к+R)² + х_к² – 2 х_к х_С + х_C² + х_к х_С – х_C² = 0, откуда   === 12 Ом.

Резонансные кривые приведены на рис. 3.6.

ЗАДАЧА 3.6. Определить показания приборов в схеме рис. 3.7,а, мгновенное значение тока i₁ в неразветвлённой части схемы, построить векторную диаграмму, если:

u(t)= 200×sin(ωt+25°) В,   r = 50 Ом,    х_С = 50 Ом.

Решение

Приборы реагируют на действующие значения величин.

Действующие значения токов параллельных ветвей

I₂ ==== 2= 2,83 А,

I₃ === 2= 2,83 А.

Так как ток в активном сопротивлении  i₃  совпадает по фазе с  напряжением, ток в ёмкости опережает по фазе напряжение на 90°, а в соответствии с І законом Кирхгофа  i₁ = i₂ + i₃,  то треугольник токов на векторной диаграмме (рис. 3.7,б) прямоугольный, откуда

I₁ === 4 А, угол сдвига фаз между током i₁ и напряжением u на входе схемы отрицательный и равен

j  = -arctg= -arctg1= -45°.

Мгновенное значение тока

i₁(t) = I_1m×sin(ωt +y_u – j) = 4×sin(ωt + 70°) A.

Показания амперметров

A₁   ® I₁ = 4 А,          A₂   ® I₂ = 2,83 А,         A₃   ® I₃ = 2,83 А.

Показание ваттметра

P_W = u_W ×I_W ×cos= u×I₁×cosj=×4×cos45° = 400 Вт.