Линейные цепи синусоидального тока. Основные теоретические положения, страница 7

i₃(t) = I₃×sin(wt+y_ubd – j ₃) = 10×sin(wt + 45°) А;

где     y_ubd = y_u– j _вх– j ₂₃ = -90° + 45° + 45° = 0.

Проверим баланс активных мощностей:   U×I₁×cosj _вх = I₁²×r₁ + I₃²×r₃.

×10×cos(-45°) = 10²×10+10²×20    или     3000 Вт = 3000 Вт.

Проверим баланс реактивных мощностей:

U×I₁×sinj _вх = I₁²×(-x₄) + I₂²×x₂ + I₃²×(-x₃).

×10×sin(-45°)=10²×(-50)+(10)²×20+10²×(-20)    или   -3000 вар = -3000 вар.

Вывод: балансы активных и реактивных мощностей сходятся, следовательно, задача решена верно и можно переходить к построению полной векторной диаграммы.

Рассчитаем неизвестные напряжения на элементах электрической цепи.

U_ab = I₁×r₁= 10×10 = 100 В;    U_bc = I₃×r₃= 10×20 = 200 В;

U_ca = I₃×x₃= 10×20 = 200 В;    U_de = I₁×x₄= 10×50 = 500 В.

Векторная диаграмма приведена на рис. 3.19. Её построение начинается с выбора масштабов напряжений и токов. Затем в произвольном направлении строится вектор напряжения на параллельно включенных ветвях U_bd, от которого под углами j ₂, j ₃, j ₂₃ строятся векторы токов I₂, I₃ и I₁, соответственно. При этом следует учесть, что  I₁ = I₂ + I₃.

Остальные векторы напряжений строятся в соответствии с уравнениями второго закона Кирхгофа и порядком расположения элементов эквивалентной схемы (см. рис. 3.18,б):

U_ab + U_bd + U_de = U.

ЗАДАЧА 3.21. Рас-считать действующие значе-ния напряжений и токов в схеме рис. 3.20,а, проверить балансы активных и реак-тивных мощностей, постро-ить полную векторную диаг-рамму напряжений и токов, если:  U = 300 B;r₂ = 30 Ом,   x₂ = 10 Ом; x₃ = 33,33 Ом;  x₄ = 2 Ом;

x₅ = 20 Ом; r₆ = 10 Ом;   x₁ = 8 Ом;  r₁ = 4 Ом.

Решение

В рассматриваемой схеме два разветвления: на участке bc параллельно включены 2^я и 3^я ветви, которые могут быть заменены эквивалентной ветвью r₂₃-x₂₃ (рис. 3.20,б); на участке de параллельно включены 5^я и 6^я ветви, заменяемые последовательной эквивалентной цепью r₅₆-x₅₆. Замена осуществляется на основании соотношений между активными и реактивными проводимостями параллельных ветвей:

g₂ === 0,03 Cм;        b₂ === 0,01 Cм (инд.);

g₃ = 0;                                                       b₃ === 0,03 Cм (инд.);

g₂₃ = g₂ + g₃ = 0,03 + 0 = 0,03 Cм;      b₂₃ = b₂ + b₃ = 0,01 + 0,03 = 0,04 Cм (инд.);

r₂₃ === 12 Ом;

x₂₃ === 16 Ом (инд.).

g₅ = 0;        g₆ === 0,1 Cм;           b₅ === 0,05 Cм (ёмк.);       b₆ = 0;

g₅₆ = g₅ + g₆ = 0 + 0,1 = 0,1 Cм;              b₅₆ = b₅ + b₆ = 0,05 + 0 = 0,05 Cм (ёмк.);

r₅₆ === 8 Ом;x₅₆ === 4 Ом (ёмк.).

Входное сопротивление цепи по эквивалентной схеме (рис. 3.20,б)

Z_вх =

== 30 Ом;

cosj _вх === 0,8;

sinj _вх === 0,6.

Ток в общей части схемы   I₁ = I₄ === 10 A, напряжения на разветвлениях     U_bc = I₁×= 10= 200 B,

U_de = I₁×= 10= 40 B, токи в остальных ветвях

I₂ === 2 A,             I₅ === 2 A,

I₃ === 6 A,                                         I₆ === 4 A.

Проверим балансы мощностей. Баланс активных мощностей представляется для схемы рис. 3.20,а выражением

U×I₁×cosj _вх = I₁²×r₁ + I₂²×r₂ + I₆²×r₆,

300×10×0,8 = 10²×4+×30+×30    или     3000 Вт = 3000 Вт  - выполняется.

Баланс реактивных мощностей цепи

U×I₁×sinj _вх = I₁²×x₁ + I₂²×x₂ + I₃²x₃ – I₄²×x₄ – I₅²×x₅,

300×10×0,6 = 10²×8 +×10 + 6²×33,33 – 10²×2 – ×20    или    1800 вар = 800 + 400 + 1200 – 200 – 400 вар  - выполняется.

Так как оба баланса мощностей выполняются, задача расчёта цепи решена верно, и можно переходить к построению векторной диаграммы.

Так как в схеме рис. 3.20,а имеется два разветвления, то сначала строится векторная диаграмма для последовательной эквивалентной схемы рис. 3.20,б и построение начинается с выбора произвольного направления вектора тока  I₁  последовательной цепи (горизонтально, вправо) (рис. 3.21).

Уравнение по второму закону Кирхгофа запишем в векторной форме с соблюдением принципа: падения напряжений на элементах схемы строго следуют в соответствии с расположением элементов, и каждому вектору напряжения присваиваются соответствующие индексы точек схемы: