то при любом существуют А' и А"
из
такие, что
т.е.
Для множеств из M имеют место следующие теоремы.
Теорема 3. Если то
Доказательство. Выберем такие , что
и образуем Тогда
так как произвольно, то
Теорема 4. Если и
то
Доказательство. Выберем такие, что
и образуем
Тогда
и
Так
как
то
Поскольку
произвольно,
Определим теперь функцию с областью определения
как общее значение внешней и внутренней меры:
Из теорем 3 и 4 и из того очевидного обстоятельства, что
для
вытекает
Теорема 5. Функция является мерой и
продолжением меры т.
Доказательство. Изложенное
построение применимо к любой мере , определенной на
кольце.
Система
элементарных множеств плоскости
существенно связана с системой координат: множества системы
составляются из прямоугольников со
сторонами, параллельными осям координат. При переходе к мере Жордана
эта зависимость от выбора системы координат исчезает:
отправляясь от любой системы координат связанной
с первоначальной системой
ортогональным преобразованием
мы получим одну и ту же меру Жордана
(здесь означает меру,
построенную при помощи прямоугольников со сторонами, параллельными осям
и
). Этот
факт может быть обоснован при помощи такой общей теоремы:
Теорема 6. Для того чтобы жордановы продолжения и
мер
и
определенных
на кольцах
и
,
совпадали, необходимо и достаточно выполнение условий:
на
на
Необходимость условий очевидна. Докажем их достаточность.
Пусть Тогда
существуют такие
что
и
По условию
теоремы,
и
Из определения меры следует,
что существуют
и
для
которых
и
и
при этом
и, очевидно,
Так как произвольно, то
а из соотношений
вытекает, что
Теорема доказана.
Теперь для установления независимости меры Жордана на плоскости от выбора системы координат остается лишь убедиться в том, что множество, получающееся из элементарного поворотом на некоторый угол а, измеримо по Жордану. Читателю предлагается проделать это самостоятельно.
Если исходная мера га определена не на кольце, а на полукольце, то ее жордановым продолжением естественно назвать меру
получающуюся в результате продолжения на кольцо
и
дальнейшего продолжения по Жордану.
Часто приходится рассматривать соединения не только конечного, но и счетного числа множеств. В связи с этим условие аддитивности, которое мы наложили на меры (определение 1 § 34), оказывается недостаточным и его естественно заменить более сильным требованием счетной аддитивности.
Определение 1. Мера называется счетно-аддитивной
(или
- аддитивной) , если для любых
множеств
принадлежащих ее области определения
и удовлетворяющих условиям
при
имеет место равенство
Плоская мера Лебега, построенная нами в § 33, -аддитивна (теорема 9). Пример
-аддитивной меры совсем иной природы можно
построить следующим образом. Пусть
— произвольное счетное множество и числа таковы, что
Область состоит из всех
подмножеств множества X. Для каждого
положим
Легко проверить, что будет
- аддитивной мерой, причем
Этот пример естественно появляется в связи
со многими вопросами теории вероятностей.
Укажем пример меры аддитивной,
но не - аддитивной. Пусть X — множество всех рациональных точек отрезка [0,1], а
состоит из пересечений множества X с произвольными интервалами (a, b),
сегментами [а, b] или полусегментами [а, b), (а, b]. Легко
видеть, что
представляет собой полукольцо. Для каждого
такого множества положим
Это аддитивная мера. Она не будет -аддитивна,
так как, например,
и в то же время X есть сумма счетного числа отдельных точек, каждая из
которых имеет меру нуль.
В этом и двух следующих параграфах мы будем
рассматривать - аддитивные меры и различные их
- аддитивные продолжения.
Теорема 1. Если мера , определенная на
некотором полукольце
, счетно-аддитивна, то и мера
получающаяся ее продолжением на кольцо
счетно-аддитивна.
Доказательство. Пусть
n = 1, 2, … , и
причем при
. Тогда существуют такие множества
и
из
что
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.