Другие предметы \ Функциональное программирование

Мера, интеграл Лебега, гильбертово пространство, страница 9

то при любом существуют А' и А" из такие, что

т.е.

Для множеств из M имеют место следующие теоремы.

Теорема 3. Если то

Доказательство. Выберем такие , что

и образуем Тогда

так как произвольно, то

Теорема 4. Если и то

Доказательство. Выберем такие, что и образуем Тогда и Так как то Поскольку произвольно,

Определим теперь функцию с областью определения

как общее значение внешней и внутренней меры:

Из теорем 3 и 4 и из того очевидного обстоятельства, что для

вытекает

Теорема 5. Функция является мерой и продолжением меры т.

Доказательство. Изложенное построение применимо к любой мере , определенной на кольце.

Система элементарных множеств плоскости существенно связана с системой координат: множества системы составляются из прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат. При переходе к мере Жордана

эта зависимость от выбора системы координат исчезает: отправляясь от любой системы координат связанной с первоначальной системой ортогональным преобразованием

мы получим одну и ту же меру Жордана

(здесь означает меру, построенную при помощи прямоугольников со сторонами, параллельными осям и ). Этот факт может быть обоснован при помощи такой общей теоремы:

Теорема 6. Для того чтобы жордановы продолжения и мер и определенных на кольцах и , совпадали, необходимо и достаточно выполнение условий:

на

Необходимость условий очевидна. Докажем их достаточность.

Пусть Тогда существуют такие что и По условию теоремы, и

Из определения меры следует, что существуют и для которых

при этом

и, очевидно,

Так как произвольно, то а из соотношений

вытекает, что

Теорема доказана.

Теперь для установления независимости меры Жордана на плоскости от выбора системы координат остается лишь убедиться в том, что множество, получающееся из элементарного поворотом на некоторый угол а, измеримо по Жордану. Читателю предлагается проделать это самостоятельно.

Если исходная мера га определена не на кольце, а на полукольце, то ее жордановым продолжением естественно назвать меру

получающуюся в результате продолжения на кольцо и дальнейшего продолжения по Жордану.

§ 37. Счетная аддитивность. Общая задача о продолжении мер

Часто приходится рассматривать соединения не только конечного, но и счетного числа множеств. В связи с этим условие аддитивности, которое мы наложили на меры (определение 1 § 34), оказывается недостаточным и его естественно заменить более сильным требованием счетной аддитивности.

Определение 1. Мера называется счетно-аддитивной (или - аддитивной) , если для любых множеств принадлежащих ее области определения и удовлетворяющих условиям

при

имеет место равенство

Плоская мера Лебега, построенная нами в § 33, -аддитивна (теорема 9). Пример -аддитивной меры совсем иной природы можно построить следующим образом. Пусть

— произвольное счетное множество и числа таковы, что

Область состоит из всех подмножеств множества X. Для каждого положим

Легко проверить, что будет - аддитивной мерой, причем Этот пример естественно появляется в связи со многими вопросами теории вероятностей.

Укажем пример меры аддитивной, но не - аддитивной. Пусть X — множество всех рациональных точек отрезка [0,1], а состоит из пересечений множества X с произвольными интервалами (a, b), сегментами [а, b] или полусегментами [а, b), (а, b]. Легко видеть, что представляет собой полукольцо. Для каждого такого множества положим

Это аддитивная мера. Она не будет -аддитивна, так как, например, и в то же время X есть сумма счетного числа отдельных точек, каждая из которых имеет меру нуль.

В этом и двух следующих параграфах мы будем рассматривать - аддитивные меры и различные их - аддитивные продолжения.

Теорема 1. Если мера , определенная на некотором полукольце , счетно-аддитивна, то и мера получающаяся ее продолжением на кольцо счетно-аддитивна.