Мера, интеграл Лебега, гильбертово пространство, страница 2

Из можно (по лемме Бореля-Лебега) выбрать конечную систему покрывающую При этом, очевидно,

(так как иначе оказалось бы покрытым конечным числом прямоугольников, суммарной площади, меньшей, чем что, очевидно, невозможно). Поэтому

откуда, в силу произвольности  вытекает (1).

Совокупность элементарных множеств не исчерпывает всех тех множеств, которые рассматриваются в элементарной геометрии и в классическом анализе. Поэтому естественно поставить вопрос о распространении понятия меры, с сохранением ее основных свойств, на класс множеств, более широкий, чем конечные соединения прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат.

Решение этой задачи, в известном смысле окончательное, было дано А. Лебегом в начале XX века.

При изложении лебеговской теории меры нам придется рассматривать не только конечные, но и бесконечные соединения прямоугольников.

Для того чтобы при этом не рассматривать бесконечные значения меры, ограничимся в дальнейшем множествами, целиком принадлежащими квадрату

На совокупности всех таких множеств определим две функция и следующим образом.

Определение 1. Верхней мерой множества А называется число

где нижняя грань берется по всевозможным покрытиям множества А конечными или счетными системами прямоугольников.

Определение 2. Нижней мерой множества А называется число

Легко видеть, что всегда

Действительно, предположим, что для какого-то

т.е.

Тогда, по определению точной нижней грани, можно найти такие системы прямоугольников и покрывающие А и соответственно, что

Объединение систем  и обозначим  получаем:

что противоречит теореме 2.

Определение 3. Множество А называется измеримым (в смысле Лебега), если

Общее значение верхней и нижней мер для измеримого множества А называется его лебеговской мерой.

Выясним основные свойства меры Лебега и измеримых множеств. Предварительно установим следующее свойство верхней меры.

Теорема 3. Если

где  — конечная или счетная система множеств, то

Доказательство. По определению верхней меры, для каждого  найдется такая система прямоугольников  конечная или счетная, что  и

где  выбрано произвольно. Тогда

и

Поскольку  произвольно, отсюда вытекает утверждение теоремы.

Выше мы уже ввели понятие меры для множеств, названных нами элементарными. Нижеследующая теорема показывает, что для элементарных множеств определение 3 приводит к тому же самому результату.

Теорема 4. Элементарные множества измеримы, и для них мера Лебега совпадает с построенной выше мерой

Доказательство. Если А — элементарное множество и  — составляющие его попарно непересекающиеся прямоугольники, то, по определению,

Так как прямоугольники  покрывают все А, то Но если  произвольная конечная или счетная система прямоугольников, покрывающая А, то, в силу теоремы 2,  поэтому  Таким образом,

Так как  также является элементарным множеством, то  Но

откуда

Следовательно,

Из полученного результата вытекает, что теорема 2 представляет собой частный случай теоремы 3.

Теорема 5. Для измеримости множества А необходимо и достаточно следующее условие: при любом  существует такое элементарное множество В, что

Таким образом, измеримыми являются те и только те множества, которые могут быть «с любой степенью точности аппроксимированы» элементарными множествами. Для доказательства теоремы 5 нам понадобится следующая

Лемма. Для любых двух множеств А и В

Доказательство леммы. Так как

то

Отсюда вытекает утверждение леммы в случае  Если же то утверждение леммы вытекает из неравенства

устанавливаемого аналогично.

Доказательство теоремы 5. Достаточность. Допустим, что для любого  существует такое элементарное множество В, что

Тогда, согласно лемме,

                                          (1)

и, так как

то, аналогично,

                                                   (2)

Из неравенств (1) и (2), учитывая, что

получаем:

и, так как  произвольно, то

т. е. множество А измеримо.

Необходимость. Пусть А измеримо, т. е. пусть

Выбрав  произвольно, найдем покрытия

множеств А и системами прямоугольников  и  для которых