Другие предметы \ Функциональное программирование

Мера, интеграл Лебега, гильбертово пространство, страница 3

Так как то найдется такое N, что

положим

Ясно, что множество

содержит а множество

содержит и, следовательно, При этом

Оценим Для этого заметим, что

и, следовательно,

(3)

Но, по условию,

(4)

Вычитая (3) из (4), получаем:

т.е.

Поэтому

Итак, если А измеримо, то при любом существует такое элементарное множество В, что Теорема 5 доказана.

Теорема 6. Сумма и пересечение конечного числа измеримых множеств суть измеримые множества.

Доказательство. Достаточно, очевидно, провести доказательство для двух множеств. Пусть и — измеримые множества. Тогда для любого найдутся такие элементарные множества и что

Так как

то

— элементарное множество, поэтому, в силу теоремы 4 множество измеримо.

Но, по самому определению измеримости, если измеримо, то и измеримо; поэтому измеримость пересечения двух измеримых множеств вытекает из соотношения

Следствие. Разность и симметрическая разность двух измеримых множеств измеримы.

Это вытекает из теоремы 6 и равенств

Теорема 7. Если — попарно непересекающиеся измеримые множества, то

Доказательство. Как и в теореме 6, достаточно рассмотреть случай Выберем произвольное и такие элементарные множества и что

(6)

(7)

Положим и Множество А измеримо в силу теоремы 6. Так как

то

(8)

В силу леммы к теореме 5, из (6) и (7) вытекает, что

(9)

(10)

Так как на совокупности элементарных множеств мера аддитивна, то из (8), (9), (10) получаем:

Заметив еще, что имеем, наконец,

Так как может быть выбрано произвольно малым, то

Поскольку противоположное неравенство

справедливо всегда при окончательно получаем

так как и измеримы, то здесь можно заменить на Теорема доказана.

Теорема 8. Сумма и пересечение счетного числа измеримых множеств суть измеримые множества.

Доказательство. Пусть

— счетная система измеримых множеств, и Положим Ясно, что причем множества попарно не пересекаются. В силу теоремы 6 и следствия из нее все множества измеримы. Согласно теоремам 7 и 3, при любом конечном п

поэтому ряд

сходится и, следовательно, для любого найдется такое N, что

(11)

Так как множество измеримо (как сумма конечного числа измеримых множеств), то для него найдется такое элементарное множество В, что

(12)

Поскольку

то из (11) и (12) вытекает:

В силу теоремы 5, отсюда следует измеримость множества А.

Так как дополнения измеримых множеств измеримы, то утверждение теоремы относительно пересечений вытекает из равенства

Теорема 8 является обобщением теоремы 6. Следующая теорема представляет собой соответствующее обобщение теоремы 7.

Теорема 9. Если — последовательность попарно непересекающихся измеримых множеств, и то

Доказательство. В силу теоремы 7, при любом N

Переходя к пределу при получаем:

(13)

С другой стороны, согласно теореме 3,

(14)

Из (13) и (14) вытекает утверждение теоремы.

Установленное в теореме 9 свойство меры называется ее счетной аддитивностью, или - аддитивностью. Непосредственным следствием - аддитивности является следующее свойство меры, называемое непрерывностью.