Другие предметы \ Функциональное программирование

Мера, интеграл Лебега, гильбертово пространство, страница 10

причем множества в правых частях каждого из этих равенств попарно не пересекаются, а суммы по i и j конечны (теорема 3, § 34).

Пусть Легко видеть, что множества  попарно не пересекаются, и притом

Поэтому, в силу счетной аддитивности меры т на , имеем:

                                                  (1)

                                                   (2)

а в силу определения меры r(m) на

                                                    (3)

                                                    (4)

Из (1), (2), (3), (4) вытекает, что  (Суммы по i и по j здесь п

конечны, ряды по п сходятся.)

Можно было бы показать, что жорданово продолжение - аддитивной меры всегда -аддитивно; нет необходимости делать это специально, так как это будет вытекать из теории лебеговских расширений, излагаемой в следующем параграфе.

Докажем теперь, что для случая - aддитивных мер теорема 2 § 35 переносится на счетные покрытия:

Теорема 2. Если мера -аддитивна и множества А, А1, A2, … , An, …

Принадлежат ,то из

вытекает неравенство

Доказательство. В силу теоремы 1 достаточно провести доказательство для мер, определенных на кольце, так как из справедливости теоремы 2 для непосредственно вытекает ее применимость и к мере m. Если есть кольцо, то множества

принадлежат . Так как

   

и множества Вп попарно не пересекаются, то

Всюду в дальнейшем мы будем, не оговаривая это особо, рассматривать только -аддитивные меры.

Мы уже рассматривали выше два способа продолжения мер. По поводу продолжения меры т на кольцо  в § 35 отмечалась единственность этого продолжения. Аналогично обстоит дело с жордановым продолжением j(m) произвольной меры т. Если множество А измеримо относительно меры m по Жордану (входит в Sj(m)), то для любой меры , продолжающей т и определенной на А, значение совпадает со значением J(A) жорданова продолжения J = j(m). Можно показать, что продолжение меры т за пределы системы Sj(m) не будет однозначно. Более точно это значит следующее. Назовем множество А множеством однозначности для меры т, если:

1) существует мера, являющаяся продолжением меры m, определенная для множества А;

2) для любых двух такого рода мер  и

.

Имеет место теорема: система множеств однозначности для меры т совпадает с системой множеств, измеримых по Жордану относительно меры т, т. е. с системой множеств .

Однако, если рассматривать только - аддитивные меры и их продолжения (-аддитивные), то система множеств однозначности будет, вообще говоря, обширнее.

Так как именно случай  - аддитивных мер нас будет занимать далее, то установим

Определение 2. Множество А называется множеством - однозначности для (-аддитивной , если

1)  существует - аддитивное продолжение  меры т, определенное для А (т. е. такое, что );

2) для двух таких - аддитивных продолжений  и  справедливо равенство:

Если А есть множество - однозначности для - аддитивной меры , то, в силу нашего определения, существует единственно возможное для - аддитивного продолжения меры , определенного на А.

§ 38. Лебеговское продолжение меры, определенной на полукольце с единицей

Хотя жорданово продолжение позволяет распространить понятие меры на довольно широкий класс множеств, оно во многих случаях оказывается все же недостаточным. Так, например, если мы в качестве исходной меры возьмем площадь, за область ее определения примем полукольцо прямоугольников и будем рассматривать жорданово продолжение этой меры, то уже такое сравнительно простое множество, как множество точек, координаты которых рациональны и удовлетворяют условию , не будет измеримо по Жордану.

Распространение - аддитивной меры, определенной на некотором полукольце на класс множеств, в известном смысле максимальный, может быть получено с помощью так называемого лебеговского продолжения. В этом параграфе мы рассмотрим лебеговское продолжение меры, заданной на полукольце с единицей. Общий случай будет рассмотрен в § 39.

Проводимое ниже построение представляет собой, в значительной мере, повторение в абстрактных терминах построения меры Лебега для плоских множеств, проведенное в § 33.

Скачать файл