Мера, интеграл Лебега, гильбертово пространство, страница 4

что и требовалось доказать.

Следствие 1. Если  — возрастающая последовательность измеримых множеств и

то

Для доказательства достаточно перейти от множеств А_п к их дополнениям и воспользоваться теоремой 10.

Итак, мы распространили понятие меры с элементарных множеств на более широкий класс множеств, называемых измеримыми, замкнутый относительно операций взятия счетных сумм и пересечений. Построенная мера является на этом классе множеств -аддитивной.

Сделаем несколько заключительных замечаний.

1.         Установленные нами теоремы позволяют составить представление о совокупности всех измеримых по Лебегу множеств.

Так как всякое открытое множество, принадлежащее Е, можно представить как соединение конечного или счетного числа открытых прямоугольников, т. е. измеримых множеств, то, в силу теоремы 8, все открытые множества измеримы. Замкнутые множества суть дополнения открытых, следовательно, они тоже измеримы. Согласно теореме 8, измеримыми должны быть и все те множества, которые могут быть получены из открытых и замкнутых с помощью конечного или счетного числа операций взятия счетных сумм и пересечений. Можно показать, однако, что этими множествами не исчерпывается совокупность всех измеримых по Лебегу множеств.

2.         Выше мы рассматривали на плоскости только те множества, которые являются подмножествами единичного квадрата  Нетрудно освободиться от этого ограничения, например, следующим образом. Представив всю плоскость как сумму квадратов , мы будем говорить, что плоское множество А измеримо, если его пересечение с каждым из этих квадратов измеримо, и ряд сходится. При этом мы положим, по определению,

Все свойства меры, установленные выше, очевидным образом переносятся на этот случай.

3.         Мы изложили в этом параграфе построение меры Лебега для плоских множеств. Аналогично может быть построена лебеговская мера на прямой, в трехмерном пространстве, или вообще в евклидовом пространстве любой размерности п. В каждом из этих случаев мера строится по одному и тому же образцу: исходя из меры, определенной заранее для некоторой системы простейших множеств (прямоугольников в случае плоскости, интервалов (а, b), сегментов [а, b] и полусегментов (а, b], [а, b) в случае прямой, и т.п.), мы определяем меру вначале для конечных соединений таких множеств, а потом распространяем ее на гораздо более широкий класс множеств — на множества, измеримые по Лебегу. Само определение измеримости дословно переносится на множества в пространстве любой размерности.

4.         Вводя понятие меры Лебега, мы исходили из обычного определения площади. Аналогичное построение для одномерного случая опирается на понятие длины интервала (сегмента, полусегмента). Можно, однако, ввести понятие меры и иным, несколько более общим образом.

Пусть F(t) — некоторая неубывающая, непрерывная слева функция на прямой. Положим:

m(a,b) = F{b)-F(a + 0),

m[a,b] =F(b + 0)-F(a),

т(а, b) = F(b + 0) – F(a + 0),

m[a,b) = F(b)-F(a).

Легко видеть, что так определенная функция интервала m неотрицательна и аддитивна. Применяя к ней рассуждения, аналогичные проведенным в настоящем параграфе, мы можем построить некоторую «меру» При этом совокупность множеств, измеримых относительно данной меры, замкнута относительно операций взятия счетных сумм и пересечений, а мера  будет - аддитивна. Класс множеств, измеримых относительно , будет, вообще говоря, зависеть от выбора функции F. Однако при любом выборе F открытые и замкнутые множества, а следовательно, и все их счетные суммы и пересечения заведомо будут измеримы. Меры, получаемые с помощью той или иной функции F, называются мерами Лебега-Стилтьеса. В частности, функции F(t) = t отвечает обычная мера Лебега на прямой.

Если мера такова, что она равна нулю для любого множества, обычная лебеговская мера которого равна нулю, то мера называется абсолютно непрерывной. Если мера целиком сосредоточена на конечном или счетном множестве точек (это будет в том случае, когда множество значений функции F(t) конечно или счетно), то она называется дискретной. Мера называется сингулярной, если она равна нулю для любого одноточечного множества, но имеется такое множество М лебеговской меры нуль, что мера его дополнения равна нулю. Можно показать, что всякая мера представила как сумма абсолютно непрерывной, дискретной и сингулярной мер.