Другие предметы \ Функциональное программирование

Мера, интеграл Лебега, гильбертово пространство, страница 8

в котором первые п множеств совпадают с заданными множествами А₁ , …. , A_n. Так как мера любого множества неотрицательна, то

Теорема 2. Если А₁ , …. , A_n, А принадлежат , и , то

Доказательство. Согласно лемме 2 § 34, найдется такая система попарно непересекающихся множеств B₁ , …. , B_t из , что каждое из множеств A, А₁ , …. , A_nпредставляется как соединение некоторых из множеств В_s:

; ; k = 1,2, … , n.

При этом каждый индекс принадлежит и какому-либо из . Следовательно, каждый член суммы

входит один или несколько раз в двойную сумму

Отсюда и вытекает, что

В частности, при п = 1 получаем

Следствие. Если , то

Определение 2. Мера называется продолжением меры т(А), если , и для каждого имеет место равенство

Основной целью настоящего параграфа является доказательство следующего предложения.

Теорема 3. Каждая мера т(А) имеет одно и только одно продолжение , имеющее своей областью определения кольцо .

Доказательство. Для каждого множества существует разложение

(1)

(теорема 3,§ 34). Положим, по определению,

(2)

Легко видеть, что величина , определенная равенством (2), не зависит от выбора разложения (1). Действительно, рассмотрим два разложения

Так как все пересечения принадлежат , то, по аддитивности меры m,

что и требовалось доказать. Неотрицательность и аддитивность функции , определяемой равенством (2), очевидны. Итак, существование продолжения меры m доказано. Для доказательства его единственности заметим, что, по определению продолжения, если , где B_k — непересекающиеся множества из S_m, то для любого продолжения меры m на кольцо

т.е. мера совпадает с мерой , определенной равенством (2). Теорема доказана.

Связь этой теоремы с построениями § 33 будет вполне ясна, если заметить, что совокупность прямоугольников на плоскости представляет собой полукольцо, площадь этих прямоугольников является мерой в смысле определения 1, а элементарные плоские множества образуют минимальное кольцо над полукольцом прямоугольников.

§ 36. Продолжение меры по Жордану[2]

В этом параграфе мы рассмотрим в общей форме тот процесс, который в случае плоских фигур позволяет от определения площадей для конечных соединений прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат, перейти к площадям всех тех фигур, которым приписывает определенную площадь элементарная геометрия или классический анализ. С полной отчетливостью этот переход был проведен французским математиком Жорданом около 1880 г. Основная идея Жордана восходит, впрочем, еще к математикам древней Греции и состоит в приближении, измеряемого множества А множествами А' и А", которым мера уже приписана, изнутри и снаружи, т. е. таким образом, чтобы выполнялись включения

Так как любую меру мы умеем продолжать на кольцо (теорема 3 § 35), то естественно предполагать исходную меру m определенной на кольце . Такое допущение будет принято на протяжении всего данного параграфа.