Другие предметы \ Функциональное программирование

Мера, интеграл Лебега, гильбертово пространство, страница 6

доказательство. Легко видеть, что кольцо определяется системой однозначно. Для доказательства его существования рассмотрим соединение всех множеств А, входящих в и кольцо M(X) всех подмножеств множества X. Пусть — совокупность всех колец множеств, содержащихся в M (Х) и содержащих . Пересечение

B =

всех этих колец и будет, очевидно, искомым кольцом .

Действительно, каково бы ни было кольцо , содержащее , пересечение M (Х) будет кольцом из и, следовательно,

т. е. B действительно удовлетворяет требованию минимальности. называется минимальным кольцом над системой .

Фактическое построение кольца по исходной системе , вообще говоря, довольно сложно. Оно становится, однако, вполне обозримым в том важном частном случае, когда система является «полукольцом».

Определение 2. Система множеств называется полукольцом, если она содержит пустое множество , замкнута по отношению к образованию пересечений и обладает тем свойством, что из принадлежности к множеств А и вытекает возможность представления А в виде , где A_k — попарно непересекающиеся множества из , первое из которых есть заданное множество А₁.

В дальнейшем всякую систему попарно непересекающихся множеств A₁,A₂,…A_n, соединение которых есть заданное множество, мы будем называть конечным разложением множества А.

Всякое кольцо множеств является полукольцом, так как если А и входят в , то имеет место разложение

, где .

Примером полукольца, не являющегося кольцом множеств, может служить совокупность всех интервалов (а, b), сегментов [а, b] и полусегментов [а, b) и (а, b] на числовой прямой[1].

Для того чтобы выяснить, каким образом строится кольцо множеств, минимальное над данным полукольцом, установим некоторые свойства полуколец множеств.

Лемма 3. Пусть множества A₁,A₂,…A_n,,A принадлежат полукольцу, причем множества А_i попарно не пересекаются и все являются подмножествами множества А. Тогда множества A_i(i = 1,2,..., n) можно включить в качестве первых п членов в конечное разложение

множества А, причем все.

доказательство проведем по индукции. При п = 1 справедливость утверждения леммы вытекает из определения полукольца. Предположим, что это утверждение справедливо для n = m и рассмотрим т + 1 множеств A₁,…, A _m, A _m+1, удовлетворяющих условиям леммы. По сделанному предположению,

где все множества (q = 1,2,… p) принадлежат . Положим

По определению полукольца, имеется разложение

где все принадлежат . Легко видеть, что

Таким образом, утверждение леммы доказано для n = m + 1, а следовательно, и вообще для всех п.

Лемма 4. Какова бы ни была конечная система множеств A_i,..., А_п, принадлежащих полукольцу , найдется в такая конечная система попарно непересекающихся множеств B₁,..., A_t, что каждое A_k может быть представлено в виде суммы

некоторых из множеств B_s.

Доказательство. При n = 1 лемма тривиальна, так как достаточно положить t = 1, В₁ =A₁. Допустим, что она справедлива для n = m и рассмотрим в некоторую систему множеств А₁ ... A_m₊₁. Пусть B₁, B₂,..., B_t — множества из , удовлетворяющие условиям леммы по отношению к A₁, A₂, …,А_т. Положим