Мера, интеграл Лебега, гильбертово пространство, страница 6

доказательство. Легко видеть, что кольцо определяется системой  однозначно. Для доказательства его существования рассмотрим соединение  всех множеств А, входящих в  и кольцо M(X) всех  подмножеств множества X. Пусть — совокупность всех колец множеств, содержащихся в M (Х) и содержащих . Пересечение

B =

всех этих колец и будет, очевидно, искомым кольцом .

Действительно, каково бы ни было кольцо , содержащее , пересечение M (Х) будет кольцом из и, следовательно,

B

т. е. B действительно удовлетворяет требованию минимальности.  называется минимальным кольцом над системой .

Фактическое построение кольца  по исходной системе , вообще говоря, довольно сложно. Оно становится, однако, вполне обозримым в том важном частном случае, когда система  является «полукольцом».

Определение 2. Система множеств  называется полукольцом, если она содержит пустое множество , замкнута по отношению к образованию пересечений и обладает тем свойством, что из принадлежности к  множеств А и вытекает возможность представления А в виде , где Akпопарно непересекающиеся множества из , первое из которых есть заданное множество А1.

В дальнейшем всякую систему попарно непересекающихся множеств A1,A2,…An, соединение которых есть заданное множество, мы будем называть конечным разложением множества А.

Всякое кольцо множеств  является полукольцом, так как если А и входят в , то имеет место разложение

 , где   .

Примером полукольца, не являющегося кольцом множеств, может служить совокупность всех интервалов (а, b), сегментов [а, b] и полусегментов [а, b) и (а, b] на числовой прямой[1].

Для того чтобы выяснить, каким образом строится кольцо множеств, минимальное над данным полукольцом, установим некоторые свойства полуколец множеств.

Лемма 3. Пусть множества A1,A2,…An,,A принадлежат полукольцу, причем множества Аi попарно не пересекаются и все являются подмножествами множества А. Тогда множества Ai(i = 1,2,..., n) можно включить в качестве первых п членов в конечное разложение

множества А, причем все.

доказательство проведем по индукции. При п = 1 справедливость утверждения леммы вытекает из определения полукольца. Предположим, что это утверждение справедливо для n = m и рассмотрим т + 1 множеств A1 ,…, A m , A m+1, удовлетворяющих условиям леммы. По сделанному предположению,

где все множества (q = 1,2,… p) принадлежат . Положим

По определению полукольца, имеется разложение

где все принадлежат . Легко видеть, что

Таким образом, утверждение леммы доказано для n = m + 1, а следовательно, и вообще для всех п.

Лемма 4. Какова бы ни была конечная система множеств Ai ,..., Ап, принадлежащих полукольцу , найдется в  такая конечная система попарно непересекающихся множеств B1 ,..., At, что каждое Ak  может быть представлено в виде суммы

некоторых из множеств Bs.

Доказательство. При n = 1 лемма тривиальна, так как достаточно положить t = 1, В1 =A1. Допустим, что она справедлива для n = m и рассмотрим в  некоторую систему множеств А1 ... Am+1. Пусть B1, B,..., Btмножества из , удовлетворяющие условиям леммы по отношению к A1, A2, …,Ат. Положим

В силу леммы 1, имеет место разложение:

  ,                                              (1)

а в силу самого определения полукольца имеет место разложение

, .

Легко видеть, что

 

и что множества

попарно не пересекаются. Таким образом, множества  удовлетворяют условиям леммы по отношению к A1 Am, Am+1. Лемма доказана.

Теорема 3. Если  —полукольцо, то  совпадает с системой Z множеств А, допускающих конечные разложения

на множества

Доказательство. Покажем, что система Z образует кольцо. Если А и В — два произвольных множества из Z, то имеют место разложения

            

Так как  — полукольцо, то множества

тоже входят в . В силу леммы 1 имеют место разложения

                                 (2)

где  Из равенств (2) вытекает, что множества и допускают разложения

и, следовательно, входят в Z - Таким образом, Z действительно представляет собой кольцо; его минимальность среди всех колец, содержащих в, очевидна.