Исследование Законов распределения. Статистики Колиогорова, страница 9

Генератор	Значения статистик хи-квадрат	Среднее значение статистик
Mersenne Twister	25.1; 10.1; 13.4; 13.9; 13.5; 17.3; 24.3; 27.2; 23.7; 17.5; 12.5; 21.8; 11.5; 20.2; 10.6; 23; 9.5; 20.5; 9.3; 10	16.745
TT800	18.7; 27.4; 16.2; 16.3; 28.1; 23.2; 13.9; 14.8; 11.1; 15; 17.2; 12.4; 21.2; 15.2; 18.8; 21.6; 17.1; 12.3; 16.1; 11.7	17.415

Таким образом, можно сделать вывод, что статистические свойства генератора Mersenne Twister лучше, кроме того, он работает быстрее, чем ТТ800, поэтому имеет смысл использовать для дальнейших исследований только Mersenne Twister.

3.2. Распределение статистик Колмогорова для геометрического         распределения

Случайная величина подчиняется геометрическому закону распределения G(p).

1). Варьируется количество элементов в выборке, элементы которой распределены по геометрическому закону, при постоянстве остальных факторов:

р = 0.1, количество выборок = 5000, количество элементов = (10, 100, 500, 1000).

Выявлена следующая закономерность: количество элементов практически не влияет на распределение (лишь при количестве элементов равном 10 оно немного хуже), но при его уменьшении увеличивается дискретность наблюдения. Вид распределений представлен на рисунке 3.1.

Рис.3.1. Вид распределений статистик Колмогорова для геометрического

распределения при разном количестве элементов в выборке

распределения

2). Варьируется величина параметра  р при постоянстве остальных факторов:

количество элементов = 500, количество выборок = 5000, р = (0.01, 0.1, 0.5, 0.9).

а). Сравним с распределением Колмогорова. Выявлена следующая закономерность: при уменьшении значения параметра р распределение выборки, сформированной из статистик Колмогорова, приближается к распределению Колмогорова, однако хорошее согласие не достигается . Вид распределений представлен на рисунке 3.2.

Рис.3.2. Вид распределений статистик Колмогорова для геометрического

распределения при разных значениях параметра р

б). Сравним с логарифмически нормальным законом. При всех значениях параметра р выборка статистик Колмогорова хорошо подчиняется логнормальном закону распределения с разными значениями масштаба и сдвига, что хорошо видно, например, на рисунке 3.3. Кроме того, при увеличении значений параметра р увеличивается дискретность наблюдения.

Рис.3.3. Вид распределения статистик Колмогорова для геометрического закона при р=0.1 по отношению к логнормальрому распределению

Изменение величин сдвига и масштаба логнормльного распределения при изменении параметра геометрического распределения  представлено в таблице 3.1.

                                                                                                                Таблица 3.1.

Изменение величин сдвига и масштаба логнормльного распределения при изменении параметра геометрического распределения р

Значение параметра р	Масштаб	Сдвиг
0.9	0.7094	-1.5909
0.5	0.4819	-0.7017
0.1	0.3366	-0.3434
0.01	0.3066	-0.2248

Из данной таблицы видна следующая закономерность: при уменьшении значения параметра р величина масштаба логнормального распределения уменьшается,  величина сдвига увеличивается. Зависимость масштаба логнормального распределения от параметра р геометрического распределения хорошо аппроксимируется квадратичной параболой, что показано на рисунке 3.4.

Рис.3.4. Аппроксимация зависимости масштаба от параметра р

Таким образом, величина масштаба m может быть найдена через уравнение

m = 0.2353p² + 0.2349p + 0.307.

Зависимость сдвига логнормального распределения от параметра р геометрического распределения хорошо аппроксимируется кубической параболой, что показано на рисунке 3.5.

Рис.3.5. Аппроксимация зависимости сдвига от параметра р