Исследование Законов распределения. Статистики Колиогорова, страница 6

1.8.  Выводы.

В первой главе данной работы  представлены основные определения, законы дискретных распределений, критерии проверки гипотезы о виде распределения: критерий согласия хи-квадрат Пирсона, критерий  Колмогорова проверки гипотез о согласии опытного распределения с теоретическим распределением случайной величины и, главное, сформулирован критерий Колмогорова для случая дискретных распределений.

ГЛАВА 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СТАТИСТИК КОЛМОГОРОВА ПО ДИСКРЕТНЫМ ЗАКОНАМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

2.1.  Постановка задачи

Целью данной работы является исследование статистик Колмогорова для дискретных законов распределения, в частности, проверка предположения о том, что критерий Колмогорова можно применять и в случае дискретных распределений. Необходимо программно реализовать несколько законов дискретных распределений, сформировать выборку статистик Колмогорова, проверить работу программы на нескольких тестах, а именно, исследовать факторы, влияющие на закон распределения статистик Колмогорова.

2.2. Генерация  равномерной  на  отрезке [0, 1] случайной величины

Для генерации случайной величины, равномерно распределённой на отрезке [0, 1], используются стандартные генераторы ТТ800 и Mersenne Twister, разработанные Германским Национальным Институтом исследования случайных чисел и Институтом исследования случайных чисел города Токио соответственно. Правильность работы данных генераторов (хотя в правильности и не было сомнений) проверяется с помощью критерия χ².

2.3.  Алгоритм генерации выборки случайных чисел

Шаг1.а). Геометрическое распределение

Входные данные - случайные величины, равномерно распределённые на отрезке [0, 1], параметры распределения.

Случайные числа R для геометрического распределения получаются из случайных чисел genrand для равномерного на [0,1] распределения согласно формуле 

R = log (genrand) / log (1-p), где p – параметр распределения.

б). Биномиальное распределение

Входные данные - случайные величины, равномерно распределённые на отрезке [0, 1], параметры распределения.

Берем n независимых случайных чисел, распределенных равномерно на отрезке [0,1]. Количество тех из них, которые меньше p, задают случайное число, подчиняющееся биномиальному распределению .

в). Распределение Пуассона

Входные данные – параметр распределения.

Для генерации случайной величины используется модуль, разработанный Чикагским  Университетом, в котором функция ignpoi генерирует случайную величину из пуассоновского распределения по заданному параметру λ (без использования равномерной на [0, 1] случайной величины).

Шаг2. Сгенерированная случайная величина добавляется в массив выборки. Каждому элементу выборки соответствует величина count – число повторений элемента в выборке. Если новая сгенерированная случайная величина уже присутствует в выборке, то соответствующий count увеличивается на 1, иначе новая  случайная величина добавляется в массив и её count = 1.

Шаг3. Выборка сортируется по возрастанию значений её элементов.

2.4.  Алгоритм вычисления функций распределения

Входные данные – случайная величина, сгенерированная по данному закону распределения random.

а). Геометрическое распределение

Функция распределения вычисляется по формуле

G (random| p) = 1-(1-p)^random, где p – заданный параметр распределения.

б). Биномиальное распределение

Шаг1. Если random<0, то функция возвращает 0.

Шаг2. Если random=0, то функция возвращает (1-р)^random.

Шаг3. Если random≥n, то функция возвращает 1.

Шаг4. Если 0<random<n, то функция распределения вычисляется по формуле

Bi (random | n, p) = B (1-p| n- random, random +1), где n, p – заданные параметры распределения.

в). Распределение Пуассона

Шаг1. Если random<0, то функция возвращает 0.

Шаг2. Иначе функция распределения вычисляется по формуле

P₀ (random | λ) = 1 - Г (random +1| λ), где λ – заданный параметр распределения.