Численное решение задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, страница 6

Из каких соображений выбираются параметры общей формулы при получении конкретного метода? Что такое порядок точности МТРК?

Как оценивать ЛП данного МТРК с помощью метода более высокого порядка, на чем основывается эта оценка? При каких условиях данный метод называется вложенным по отношению к методу более высокого порядка?

2. Конкретизировать параметры и общий вид формул МТРК 7) и 9) из [1, стр. 9]. Первый метод считать основным, второй использовать для оценки локальной погрешности первого. Выписать выражения для контрольного (оценочного) члена 1-го метода (см. [2, стр. 78]). Изложить алгоритм решения ЗК (1) с автоматическим выбором переменного шага интегрирования по заданной величине  ЛП. Последнюю оценивать с помощью контрольного члена.

3. Составить программу, реализующую алгоритм из п. 2.

Входные данные программы: , , , , , ;  – начальный шаг сетки;  – минимальный допустимый шаг сетки;  – число точек выдачи результатов; tr(1), tr(2), …, tr() – точки выдачи результатов.

Выходные результаты: ; tr(1), tr(2), …, tr(); yr(1), yr(2), …, yr() – приближенные значения искомого решения  в точках выдачи.

Приближенное решение в точке выдачи tr(i), не совпадающей с узлами сетки и расположенной, например, между соседними узлами сетки , , вычислять с помощью интерполяционного полинома Эрмита (почему?), построенному по приближенным значениям , .

4. С помощью составленной программы найти приближенное решение ЗК

,          ,         , , .                       (2)

с  = 10^-5. Начальный шаг  = 0.05. Точки выдачи результатов tr(i) = 0.2i,  i = 1,…,10.

Найти точное решение ЗК (2) аналитически и сравнить его с приближенным в точках выдачи.

Литература

1. Методические указания по вычислительному практикуму. Ч.3., Л. 1984
2. Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. Численное решение ОДУ на Фортране., МГУ, 1990.

Тема 5. Численное решение задачи Коши (ЗК) для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Задание 12

1. Привести общий вид формулы явного -этапного метода типа Рунге-Кутты (МТРК) для нахождения приближенного решения ЗК

,                      (1)

где  – искомая, а  – заданная вектор-функции, – заданный вектор.

Дать определения:

а) глобальной (методической) погрешности (ГП) МТРК; б) локальной погрешности (ЛП) МТРК в узле .

Из каких соображений выбираются параметры общей формулы для получения конкретного метода? Что такое порядок точности МТРК?

Сформулировать правило Рунге для практической (апостериорной) оценки ГП и ЛП МТРК. На чем основывается это правило и когда оно применимо?

2. Конкретизировать параметры общей формулы и ее вид для МТРК 4) из [1, стр. 9], а также правило Рунге для этого метода. Изложить алгоритм метода с автоматическим выбором переменного шага интегрирования по заданной величине  ЛП. Последнюю оценивать по правилу Рунге. ГП оценивать также по правилу Рунге, решая ЗК (1) параллельно тем же методом, деля каждый шаг, построенный с помощью процедуры автоматического выбора шага, пополам.

3. Составить программу, реализующую алгоритм из п. 2.

Входные данные программы: , , , , , ;  – начальный шаг интегрирования;  – минимальный допустимый шаг интегрирования;  – число точек выдачи результатов; tr(1), tr(2), …, tr() – точки выдачи результатов.

Выходные результаты: ; tr(1), tr(2), …, tr(); yr(1), yr(2), …, yr() – приближенные значения искомого решения  в точках выдачи; ; NT – число узлов сетки, на которой получено приближенное решение с заданным ;  – максимальное значение нормы глобальной погрешности приближенного решения.

4. С помощью составленной программы найти приближенное решение ЗК

,           ,      , .                        (2)

с  = 10^-4. Начальный шаг  = 0.1. Точки выдачи результатов tr(i) = 0.25i,   i = 1,…,10.

Указание

В программе приближенное решение в точке выдачи tr(i), не совпадающей с узлами сетки и расположенной, например, между соседними узлами сетки  и , вычислять с помощью интерполяционного полинома Эрмита (почему?), построенного по приближенным значениям , .

Замечание