Численное решение задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, страница 2

2. Конкретизировать параметры и общий вид формул МТРК 2) и 3) из [1, стр. 8-9]. Первый метод считать основным, второй использовать для оценки локальной погрешности первого. Выписать выражение для контрольного (оценочного) члена 1-го метода (см. [2, стр. 78]).

Изложить алгоритм решения ЗК (1) по первому методу с автоматическим выбором переменного шага интегрирования по заданной величине  локальной погрешности (последнюю оценивать с помощью контрольного члена).

3. Составить программу, реализующую алгоритм из п. 2.

Входные данные программы: , , , , , ;  – начальный шаг интегрирования;  – минимальный допустимый шаг интегрирования;  – число точек выдачи результатов; tr(1), tr(2), …, tr() – точки выдачи результатов.

Выходные результаты: tr(1), tr(2), …, tr(); yr(1), yr(2), …, yr() – приближенные значения искомого решения  в точках выдачи.

В точках выдачи, расположенных между соседними узлами сетки, скажем,  и , решения вычислять с помощью линейной интерполяции по приближенным значениям  и .

4. С помощью составленной программы найти приближенное решение ЗК

,       ,         , .                                      (2)

с  = 10^-4. Точки выдачи результатов tr(i) = 0.1i,   i = 1,…,10.

Замечание

ЗК (2) можно решить аналитически и использовать полученное точное решение для контроля правильности работы программы.

Литература

1. Методические указания по вычислительному практикуму. Ч.3., Л. 1984
2. Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. Численное решение ОДУ на Фортране., МГУ, 1990.

Тема 5. Численное решение задачи Коши (ЗК) для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Задание 4

1. Привести общий вид безразностных формул экстраполяционного метода Адамса (ЭМА) для нахождения приближенного решения ЗК

,                      (1)

где  – искомая, а  – заданная вектор-функции, – заданный вектор.

Дать определения:

а) глобальной (методической) погрешности (ГП) ЭМА;

б) локальной погрешности (ЛП) ЭМА в узле ;

в) порядка точности ЭМА.

Как связан порядок точности ЭМА с числом узлов в его формуле? Сформулировать правило Рунге для практической (апостериорной) оценки ГП ЭМА. На чем оно основывается и при каких условиях оно применимо?

2. Конкретизировать параметры и вид четырехшагового ЭМА, а также правило Рунге для оценки ГП этого метода. Изложить алгоритм метода с автоматическим выбором постоянного шага интегрирования по заданной величине  глобальной погрешности.

Для вычисления приближенного решения в первых 4 узлах использовать метод Рунге-Кутты 3) из [1, стр. 9] третьего порядка (в [2] это метод (21) на стр. 62).

3. Составить программу, реализующую алгоритм из п. 2.

Входные данные программы: , , , , , ;  – начальный шаг интегрирования;  – минимальный допустимый шаг интегрирования;  – число точек выдачи результатов; tr(1), tr(2), …, tr() – точки выдачи результатов.

Выходные результаты: tr(1), tr(2), …, tr(); yr(1), yr(2), …, yr() – приближенные значения искомого решения  в точках выдачи.

4. С помощью составленной программы найти приближенное решение ЗК

,          ,         , .                                      (2)

с точностью  = 10^-5. Точки выдачи результатов tr(i) = 0.1i,   i = 1,…,10. Начальный шаг  = 0.1.

Замечание

ЗК (2) можно решить аналитически и использовать полученное точное решение для контроля правильности работы программы.

Литература

1. Методические указания по вычислительному практикуму. Ч.3., Л. 1984
2. Арушанян О.Б., Залёткин С.Ф. Численное решение ОДУ на Фортране., МГУ, 1990.

Тема 5. Численное решение задачи Коши (ЗК) для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Задание 5

1. Привести общий вид безразностных формул экстраполяционного метода Адамса (ЭМА) для нахождения приближенного решения ЗК

,                      (1)

где  – искомая, а  – заданная вектор-функции, – заданный вектор.

Дать определения:

а) глобальной (методической) погрешности (ГП) ЭМА;

б) его порядка точности.